高校数学

三角関数

基本定理

$$\begin{aligned} \sin(-\theta)&=-\sin\theta \\ \cos(-\theta)&=\cos\theta \\ \tan(-\theta)&=-\tan\theta \\ \sin^2\theta+\cos^2\theta&=1 \end{aligned}$$

余弦定理

$$\begin{aligned} a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta \end{aligned}$$

加法定理

$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\ \tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\ \tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{aligned}$$

2倍角の公式

$$\begin{aligned} \sin2\alpha&=\sin(\alpha+\alpha) \\ &=2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos2\alpha&=\cos(\alpha+\alpha) \\ &=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \end{aligned}$$

半角の公式

$$\begin{aligned} \sin^2\frac\alpha2&=\frac{1-\cos\alpha}2 \\ \cos^2\frac\alpha2&=\frac{1+\cos\alpha}2 \\ \tan^2\frac\alpha2&=\frac{\sin^2\frac\alpha2}{\cos^2\frac\alpha2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \end{aligned}$$

半角の公式の導出

$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ より

$$sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}2$$

ここで $\alpha$ を $\dfrac\alpha2$ に置き換えると

$$\sin^2\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}2$$

となる。

同様に $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ より

$$\cos^2\frac\alpha2=\frac{1+\cos\alpha}2$$

が導ける。

積和の公式

$$\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta&=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\} \\ \cos\alpha\cos\beta&=\frac12\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\} \\ \sin\alpha\sin\beta&=-\frac12\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\} \end{aligned}$$

和積の公式

$$\begin{aligned} \sin x+\sin y&=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2 \\ \sin x-\sin y&=2\cos\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2 \\ \cos x+\cos y&=2\cos\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2 \\ \cos x-\cos y&=-2\sin\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2 \\ \end{aligned}$$

和積の公式の導出

積和の公式 $\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}$ に $(\alpha,\beta)=(\dfrac{x+y}2,\dfrac{x-y}2)$ を代入すると

$$\begin{aligned} \sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2&=\frac12\{\sin(\frac{x+y}2+\frac{x-y}2)+\sin(\frac{x+y}2-\frac{x-y}2)\} \\ &=\frac12(\sin x+\sin y) \\ \sin x+\sin y&=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2 \end{aligned}$$

となる。

また、同式に $(\alpha,\beta)=(\dfrac{x-y}2,\dfrac{x+y}2)$ を代入して整理すると

$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2$$

となる。

同様に、$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}$ に、 $(\alpha,\beta)=(\dfrac{x+y}2,\dfrac{x-y}2)$ を代入して整理すると

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2$$

$\sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}$ に $(\alpha,\beta)=(\dfrac{x+y}2,\dfrac{x-y}2)$ を代入して整理すると

$$\cos x-\cos y=2\sin\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2$$

が導ける。