よんログ

前提知識 確率統計 最小二乗法 最小二乗法 (least squares method) は、測定で得られたデータセットを一次関数 (直線) で近似するときに、二乗誤差の和が最小になるように一...

前提知識 確率統計 ランダムウォーク \begin{aligned} S_n&=X_1+X_2+\cdots+X_n\\ P[X_i=\sigma]&=P[X_i=-\sigma]=\dfrac12\;(1\le i\le n) \end{aligned} で与えられる確率変数 S_n を (1次元) ランダムウォーク (random walk) という。 X_i の平均 E[X_i] と分散 V[X_i] は以下のようにな...

ド・モアブルの定理 z=r(\cos\theta+i\sin\theta) のとき z^n=r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}) ただし、n は任意の整数 証明 オイラーの公式より \begin{aligned} z&=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\ &=re^{i\theta} \end{aligned} 両辺を n 乗して \begin{aligned} z^n&=r^ne^{in\theta}\\ &=r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}) \end{aligned} コーシー・リーマンの関係式 複素関数 f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) に...

一次独立 いずれも \bold{0} でないベクトル \bold{a_1,a_2,\dots,a_n} について c_1\bold{a_1}+c_2\bold{a_2}+\cdots+c_n\bold{a_n}=\bold{0} が成り立つのが c_1=c_2=\cdots=c_n=0 だけの場合、\bold{a_1,a_2,\dots,a_n} を一次独立 (linearly independent) という...

変数分離形 定義 y'=f(x)g(y) 解法 \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) g(y)\ne0 のとき \begin{aligned} \frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}&=f(x)\\ \int{\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}dx}&=\int{f(x)dx}\\ \int{\frac{1}{g(y)}dy}&=\int{f(x)dx} \end{aligned} 例題 y'=2xy,y(0)=1 y'=1-y^2 同次形 定義 y'=f(\frac{y}{x}) 解法 u=\dfrac{y}{x} とおく。このとき y=ux であるので y'=u'x+u を代入して \begin{aligned} u'x+u&=f(u)\\ \frac{du}{dx}&=\frac{1}{x}\{f(u)-u\} \end{aligned} となり、変数分離形と同じよ...