微分方程式

変数分離形

定義

$$y'=f(x)g(y)$$

解法

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$

$g(y)\ne0$ のとき

$$\begin{aligned} \frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}&=f(x)\\ \int{\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}dx}&=\int{f(x)dx}\\ \int{\frac{1}{g(y)}dy}&=\int{f(x)dx} \end{aligned}$$

例題

1. $y'=2xy,y(0)=1$
2. $y'=1-y^2$

同次形

定義

$$y'=f(\frac{y}{x})$$

解法

$u=\dfrac{y}{x}$ とおく。このとき $y=ux$ であるので $y'=u'x+u$ を代入して

$$\begin{aligned} u'x+u&=f(u)\\ \frac{du}{dx}&=\frac{1}{x}\{f(u)-u\} \end{aligned}$$

となり、変数分離形と同じように解ける。

例題

1. $y'=\dfrac{y^2}{x^2+xy}$
2. $y'=\dfrac{y}x+\cos^2\dfrac{y}x,y(1)=\dfrac\pi4$

一階線形微分方程式

次式で表せる微分方程式を一階線形微分方程式 (1st-order linear differential equation) という。

$$y'+p(x)y=q(x)$$

$q(x)=0$ の場合、上式を同次方程式 (homogeneous equation) といい、変数分離形となる。
$q(x)\ne0$ の場合、上式を非同次方程式 (inhomogeneous equation) という。

この微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} h(x)&=\exp\int{p(x)dx}\\ y&=\dfrac1{h(x)}\left\{\int{q(x)h(x)dx}+C\right\}\;(C\text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

となる。

一般解の導出: 定数変化法

$$y'+p(x)y=q(x)$$

の $q(x)$ を $0$ で置き換えた、同次方程式

$$y'+p(x)y=0$$

を解く。

$$\begin{aligned} y'+p(x)y&=0\\ y&=C_1\exp(-\int{p(x)dx})\;(C_1\text{ は積分定数})\tag{1} \end{aligned}$$

ここで、 $y$ の定数 $C_1$ を $x$ の関数 $C_1(x)$ に変化させ、微分方程式の左辺に代入する。

$$\begin{aligned} \text{(左辺)}&=\left\{C_1(x)\exp\left(-\int{p(x)dx}\right)\right\}'+p(x)C_1(x)\exp\left(-\int{p(x)dx}\right)\\ &=C_1'(x)\exp\left(-\int{p(x)dx}\right)-p(x)C_1(x)\exp\left(-\int{p(x)dx}\right)+p(x)C_1(x)\exp\left(-\int{p(x)dx}\right)\\ &=C_1'(x)\exp\left(-\int{p(x)dx}\right)=q(x)\\ C_1'(x)&=q(x)\exp\int{p(x)dx}\\ C_1(x)&=\int{q(x)\exp\left(\int{p(x)dx}\right)dx}+C_2\;(C_2\text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

これを (1) に代入すると、求める一般解は

$$y=\left\{\int{q(x)\exp\left(\int{p(x)dx}\right)dx}+C_2\right\}\exp\left(-\int{p(x)dx}\right)$$

ここで $h(x)=\exp\int{p(x)dx}$ とおくと

$$y=\dfrac1{h(x)}\left\{\int{q(x)h(x)dx}+C_2\right\}$$

一般解の導出: 積分因子を使う方法

$$y'+p(x)y=q(x)$$

の両辺に積分因子 $\exp\int{p(x)dx}$ をかけると

$$\begin{aligned} \exp\left(\int{p(x)dx}\right)y'+\exp\left(\int{p(x)dx}\right)p(x)y&=\exp\left(\int{p(x)dx}\right)q(x)\\ \left\{\exp\left(\int{p(x)dx}\right)y\right\}'&=\exp\left(\int{p(x)dx}\right)q(x)\\ \exp\left(\int{p(x)dx}\right)y&=\int{q(x)\exp\left(\int{p(x)dx}\right)dx}+C\;(C\text{ は積分定数})\\ y&=\left\{\int{q(x)\exp\left(\int{p(x)dx}\right)dx}+C\right\}\exp\left(-\int{p(x)dx}\right) \end{aligned}$$

ここで $h(x)=\exp\int{p(x)dx}$ とおくと

$$y=\dfrac1{h(x)}\left\{\int{q(x)h(x)dx}+C\right\}$$

例題

1. $y'+2xy=2x$
2. $y'-(2x+1)y=2xe^x$

ベルヌーイの微分方程式

定義

$$y'+p(x)y=q(x)y^\alpha$$

解法

$y^\alpha\ne0$ のとき、両辺を $y^\alpha$ で割って

$$y^{-\alpha}y'+p(x)y^{1-\alpha}=q(x)$$

$u=y^{1-\alpha}$ とおく。このとき $u'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y'$ となるので

$$\begin{aligned} \frac{1}{1-\alpha}u'+p(x)u&=q(x)\\ u'+(1-\alpha)p(x)u&=(1-\alpha)q(x) \end{aligned}$$

となり、線形微分方程式と同じように解ける。

例題

1. $y'+y=e^xy^2$
2. $w'=aw^\dfrac23-bw,w(0)=0$ (von Bertalanffy の成長曲線)

クレローの微分方程式

定義

$$y=xy'+f(y')$$

解法

$y'=p$ とおくと

$$y=xp+f(p) \tag{*}$$

両辺を $x$ で微分すると

$$\begin{aligned} y'=p+xp'+f'(p)p'\\ \{x+f'(p)\}p'=0 \end{aligned}$$

よって $p'=0$ または $x+f'(p)=0$

1. $p'=0$ のとき

   $p=C$ を $*$ に代入すると、一般解が得られる。

   $$y=Cx+f(C)$$

2. $x+f'(p)$ のとき

   $$\begin{cases} \begin{aligned} y&=xp+f(p)\\ x+f'(p)&=0 \end{aligned} \end{cases}$$

   より、特異解が得られる。

   $$(x,y)=(-f'(p),-pf'(p)+f(p))$$

例題

1. $y=xy'+(y')^2$
2. $y=xp+\cos{p}$

二階線形同次微分方程式

定義

$$y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{1}$$

重ね合わせの原理

$y_1,y_2$ が式 (1) の解ならば

$$y=C_1y_1+C_2y_2$$

も式 (1) の解である。

証明

$y=C_1y_1+C_2y_2$ を式 (1) の左辺に代入すると

$$\begin{aligned} \text{(左辺)}&=C_1y_1''+C_2y_2''+p(x)(C_1y_1'+C_2y_2')+q(x)(C_1y_1+C_2y_2) \\ &=C_1\{y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1\}+C_2\{y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2\} \end{aligned}$$

ここで $y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1=y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2=0$ なので

$$\text{(左辺)}=0$$

となり、成り立つ。

定理

(1) の 2 つの解 $y_1,y_2$ が一次独立であるとき

$$y=C_1y_1+C_2y_2$$

が (1) の一般解となる。なお、特殊解はもたない。

解法

$$y''+ay'+by=0 \tag{2}$$

式 (2) に $y=e^{\lambda x}$ (解の候補) を代入すると

$$\lambda^2e^{\lambda x}+a\lambda e^{\lambda x}+be^{\lambda x}=0 \\$$

$0<e^{\lambda x}$ なので、両辺を $e^{\lambda x}$ で割って

$$\lambda^2+a\lambda+b=0$$

特性方程式 $\lambda^2+a\lambda+b=0$ が

1. 相異なる 2 つの実数解 $\lambda_1,\lambda_2$ をもつ場合

   $$y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}$$

2. 重解 $\lambda=-\dfrac{a}{2}$ をもつ場合

   $y=C_1(x)e^{\lambda x}$ を式 (2) の左辺に代入する

   $$\begin{aligned} \text{(左辺)}&=C_1''(x)y_1+2C_1'(x)y_1'+C_1(x)y_1''+a\{C_1'(x)y_1+C_1(x)y_1'\}+bC_1(x)y_1\\ &=C_1(x)(y_1''+ay_1'+by_1)+C_1'(x)(2y_1'+ay_1)+C_1''(x)y_1=0 \end{aligned}$$

   ここで $y_1''+ay_1'+by_1=2y_1'+ay_1=0$ なので

   $$\text{(左辺)}=C_1''(x)y_1=0$$

   よって $C_1''(x)=0$ となればよく、 $C_1(x)=C_2,C_3x$ はこれを満たす。よって

   $$y=C_2e^{\lambda x}+C_3xe^{\lambda x}$$

3. 2 つの複素数重解 $\lambda_1=\alpha+i\beta,\lambda_2=\alpha-i\beta$ をもつ場合

   オイラーの公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+\sin\theta$ より

   $$\begin{aligned} Z_1&=e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}e^{i\beta x}&=e^{\alpha x}(\cos{\beta x}+i\sin{\beta x})\\ Z_2&=e^{(\alpha-i\beta)x}=e^{\alpha x}e^{-i\beta x}&=e^{\alpha x}(\cos{\beta x}-i\sin{\beta x}) \end{aligned}$$

   重ね合わせの原理より

   $$\begin{aligned} \frac{1}{2}(Z_1+Z_2)&=e^{\alpha x}\cos{\beta x}\\ \frac{1}{2}(Z_1-Z_2)&=e^{\alpha x}\sin{\beta x} \end{aligned}$$

   も式 (2) の解となる。これらは一次独立なので

   $$y=C_1e^{\alpha x}\cos{\beta x}+C_2e^{\alpha x}\sin{\beta x}$$

二階線形非同次微分方程式

定義

$$y''+ay'+by=f(x)$$

解法

特殊解 $\alpha(x)$ が分かっている場合

$$\begin{cases} \begin{aligned} y''&+ay'&+&by&=f(x) \\ \alpha''(x)&+a\alpha'(x)&+&b\alpha(x)&=f(x) \end{aligned} \end{cases}$$

より

$$\{y-\alpha(x)\}''+a\{y-\alpha(x)\}'+b\{y-\alpha(x)\}=0$$

となり、ここで $Y=y-\alpha$ とおくと

$$Y''+aY'+bY=0$$

となり、二階線形同次微分方程式に帰着できた。

定数変化法

$$y''+ay'+by=0 \tag{1}$$ $$y=C_1y_1+C_2y_2 \tag{2}$$

式 (2) の $C_1,C_2$ を、それぞれ $C_1(x),C_2(x)$ に変化させる。

$y=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2$ の形で、かつ $C_1'(x)y_1+C_2'(x)y_2=0$ を満たすもので、式 (1) の解となるような $C_1(x),C_2(x)$ を探す。

$$\begin{cases} \begin{aligned} y'&=C_1'(x)y_1+C_1(x)y_1'+C_2'(x)y_2+C_2(x)y_2' \\ &=C_1(x)y_1'+C_2(x)y_2' \\ y''&=C_1'(x)y_1'+C_1(x)y_1''+C_2'(x)y_2'+C_2(x)y_2'' \end{aligned} \end{cases}$$

を式 (1) の左辺に代入して

$$\begin{aligned} \text{(左辺)}=&C_1'(x)y_1'+C_1(x)y_1''+C_2'(x)y_2'+C_2(x)y_2'' \\ &+a\{C_1(x)y_1'+C_2(x)y_2'\} \\ &+b\{C_1'(x)y_1+C_1(x)y_1'+C_2'(x)y_2+C_2(x)y_2'\} \\ =&C_1(x)(y_1''+ay_1'+by_1)+C_2(x)(y_2''+ay_2'+by_2)+C_1'(x)y_1'+C_2'(x)y_2' \end{aligned}$$

ここで $y_1''+ay_1'+by_1=y_2''+ay_2'+by_2=0$ なので

$$\text{(左辺)}=C_1'(x)y_1'+C_2'(x)y_2'=0$$

よって

$$\begin{cases} \begin{aligned} C_1'(x)y_1+C_2'(x)y_2&=0 \\ C_1'(x)y_1'+C_2'(x)y_2'&=f(x) \end{aligned} \end{cases}$$ $$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cc} y_1&y_2 \\ y_1'&y_2' \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} C_1'(x) \\ C_2'(x) \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{c} 0 \\ f(x) \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c} C_1'(x) \\ C_2'(x) \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cc} y_1&y_2 \\ y_1'&y_2' \end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{c} 0 \\ f(x) \end{array}\right) \end{aligned}$$

$W(y_1,y_2)=\left|\begin{array}{cc} y_1&y_2 \\ y_1'&y_2' \end{array}\right|$ とおくと、 $x$ の値によらず $W(y_1,y_2) \ne 0$ なので

$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{c} C_1'(x) \\ C_2'(x) \end{array}\right) &= \frac{1}{W(y_1,y_2)} \left(\begin{array}{cc} y_2'&-y_2 \\ -y_1'&y_1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 0 \\ f(x) \end{array}\right) \\ &= \frac{1}{W(y_1,y_2)} \left(\begin{array}{c} -y_2f(x) \\ y_1f(x) \end{array}\right) \\ \end{aligned}$$ $$\begin{cases} \begin{aligned} C_1'(x)&=-\frac{y_2f(x)}{W(y_1,y_2)} \\ C_2'(x)&=\frac{y_1f(x)}{W(y_1,y_2)} \end{aligned} \end{cases}$$

よって

$$\begin{cases} \begin{aligned} C_1(x)&=-\int{\frac{y_2f(x)}{W(y_1,y_2)}dx} \\ C_2(x)&=\int{\frac{y_1f(x)}{W(y_1,y_2)}dx} \end{aligned} \end{cases}$$

となり

$$\alpha(x)=-y_1\int{\frac{y_2f(x)}{W(y_1,y_2)}dx}+y_2\int{\frac{y_1f(x)}{W(y_1,y_2)}dx} \\$$

は特殊解である。

参考文献

• 井上 満, 工業数学がわかる, 技術評論社, 2010
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】偏微分とは何か【解析学】, 2018
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】全微分とは何か【解析学】, 2018
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】微分方程式入門①(微分方程式とは), 2020
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】微分方程式入門②(変数分離形), 2020
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】微分方程式入門③(同次形), 2020
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】微分方程式入門④(一階線形微分方程式)
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】微分方程式入門⑤(ベルヌーイの微分方程式), 2020
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】微分方程式入門⑦(クレローの微分方程式), 2020