解析学

2021年1月5日22 min

前提知識

微分
積分
複素数

テイラー展開

テイラー展開 (Taylor expansion) は、関数のある一点での導関数たちの値から計算される項の無限和として関数を表したものである。

\begin{aligned} f(x)&=f(a)+f{'}(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f{''}(x)(x-a)^2+\frac{1}{3!}f{'''}(a)(x-a)^3+\dots\\ &=\sum_{n=0}^\infty{\frac1{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n} \end{aligned}

特に $a=0$ のときのテイラー展開をマクローリン展開 (Maclaurin expansion) という。

f(x)=\sum_{n=0}^\infty{\frac1{n!}f^{(n)}(0)x^n}

補足

テイラー展開 (マクローリン展開) をすることによって、複雑な関数を多項式で表せる。

オイラーの公式

以下の関係式をオイラーの公式 (Euler's formula) という。

e^{iy}=\cos{y}+i\sin{y}

特に $\theta=\pi$ のとき

e^{i\pi}+1=0

が導かれ、この関係式をオイラーの等式 (Euler's identity) という。

補足

オイラー公式を用いれば、複素数の極座標表示は

z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})=re^{i\theta}

と表される。

証明 (注: 厳密でない)

ε-δ論法

定義

関数 $f(x)$ は $x=a$ で連続であるとは

\lim_{x\to a}f(x)=b

が成り立つことである。

これをε-δ論法で定義すると

^\forall\varepsilon>0,^\exists\delta>0~\mathrm{s.t.}~^\forall x\in \R,|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon

となり、これは

任意の正の数 $\varepsilon$ に対し、ある適当な正の数 $\delta$ が存在して、 $\delta<|x-a|$ を満たす全ての実数 $x$ に対し、 $|f(x)-b|<\varepsilon$ が成り立つという意味の条件である。

ガウス積分

定義

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi

証明

双曲線関数

定義

\begin{aligned} \sinh(x)&=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ \cosh(x)&=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ \tanh(x)&=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \end{aligned}

性質

双曲線関数は三角関数に似た性質をもっている。

\begin{aligned} \cosh^2{x}+\sinh^2{x}&=1\\ \tanh{x}&=\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}\\ 1-\tanh^2{x}&=\frac{1}{\cosh^2{x}}\\ (\sinh{x})'&=\cosh{x}\\ (\cosh{x})'&=\sinh{x}\\ (\tanh{x})'&=\frac1{\cosh^2{x}}\\ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx&=\sqrt\pi \end{aligned}

なぜ三角関数に性質が似るのか

ロピタルの定理

定義

$\lim_{x\rightarrow a}$ が $\dfrac00$ か $\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ の不定形であり、次の条件をすべて満たすとき

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ が $0$ または $\pm\infty$
$a$ を含むある開区間から $a$ を除くすべての点で $g'(x)\ne0$
極限 $\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ が存在する

このとき、極限 $\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ も存在し

\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

が成り立つ。

例題

$\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{x+\sin{x}}x$
$\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{e^x}$
$\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin2x}{x+\sin{x}}$
$\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{x-\sin{x}}{x^3}$

フーリエ解析

フーリエ級数展開

ある関数 $f(x)$ の性質が知りたい場合、より基本的な関数系 $\{\varphi_0(x),\varphi_1(x),\varphi_2(x),\dots\}$ で級数展開する。

f(x)=\sum_{n=0}^\infty{c_n\varphi_n(x)}

$f(x)$ が無限回微分可能な場合 → $\{1,x,x^2,x^3,\dots\}$ で級数展開 (マクローリン展開)
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
$f(x)$ が周期関数である場合 → $\{1,\cos{x},\sin{x},\cos{2x},\sin{2x},\dots\}$ (三角関数系) で級数展開 (フーリエ級数展開)
$f(x)=a+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})$

級数展開に三角関数を使う利点は、直交性 (自身以外との内積が 0) であること。

関数の内積

三角関数系が直交性をもつことの証明

フーリエ係数

\begin{aligned} \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\\ a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\cos{nx}dx}\\ b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\sin{nx}dx} \end{aligned}

このような形で表される級数を $f(x)$ のフーリエ級数といい、 $a_n,b_n$ をフーリエ係数という。

フーリエ係数の導出

f(x)=a+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\tag1

(1) の両辺に $\cos{mx}$ をかけて、 $[-\pi,\pi]$ で積分する。

\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi{f(x)\cos{mx}dx}&=\int_{-\pi}^\pi{a\cos{mx}d x}+\sum_{n=1}^\infty\int_{-\pi}^\pi{(a_n\cos{nx}\cos{mx}+b_n\sin{nx}\cos{mx})dx}\\ &=\pi a_m\\ a_m&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\cos{mx}dx} \end{aligned}

同様に、(1) の両辺に $\sin{mx}$ をかけて、 $[-\pi,\pi]$ で積分する。

\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi{f(x)\sin{mx}dx}&=\int_{-\pi}^\pi{a\sin{mx}d x}+\sum_{n=1}^\infty\int_{-\pi}^\pi{(a_n\cos{nx}\sin{mx}+b_n\sin{nx}\sin{mx})dx}\\ &=\pi b_m\\ b_m&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\sin{mx}dx} \end{aligned}

同様に、(1) の両辺を積分すると

\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi{f(x)dx}&=\int_{-\pi}^\pi{ad x}+\sum_{n=1}^\infty\int_{-\pi}^\pi{(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})dx}\\ &=2\pi a\\ a&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x)dx} \end{aligned}

よって

\begin{aligned} a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\cos{nx}dx}\\ b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\sin{nx}dx}\\ a&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x)dx}=\frac{a_0}2 \end{aligned}

複素フーリエ級数

\begin{gathered} \sum_{n=-\infty}^\infty{c_ne^{inx}}\\ c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x)e^{-inx}dx} \end{gathered}

補足

$c_n$ の性質

$f(x)$ が実関数であるとき、 $c_{-n}=c_n^*$ が成り立つ。

複素フーリエ級数の導出

ライプニッツの法則

ライプニッツの法則は、 $f,g$ を $n$ 回微分可能な関数としたときの、それらの積 $f\cdot g$ の $n$ 階微分の一般化である。

定義

(f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n{_nC_kf^{(n-k)}g^{(k)}}

sup, inf

定義

$A$ を空でない実数 $R$ の集合とする。

max

\max{A}=\alpha\Rightarrow A~\text{の最大値は}~\alpha

任意の $x\in A$ に対して $x\le\alpha$ ( $\alpha$ は $A$ の上界)
$\alpha\in A$ → $\alpha$ も $A$ に入っていけなければならない

sup

\sup{A}=\alpha\Rightarrow A~\text{の上限は}~\alpha

任意の $x\in A$ に対して $x \le\alpha$ ( $\alpha$ は $A$ の上界)
$\alpha$ より小さい任意の実数 $\beta$ に対し $\beta\lt x$ なる $x\in A$ が存在 → $\alpha$ 自体は $A$ に入ってなくてもよい

同様に

\begin{aligned} \min{A}=\alpha &\Rightarrow A~\text{の最小値は}~\alpha \\ \inf{A}=\alpha &\Rightarrow A~\text{の下限は}~\alpha \end{aligned}

性質

$\sup{A}\in A\Rightarrow\sup{A}=\max{A}$
$A\text{ が上に有界} \Rightarrow \sup{A}\text{ が存在}$
$\inf{A}\in A\Rightarrow\inf{A}=min{A}$
$A\text{ が下に有界 }\Rightarrow\inf{A}\text{ が存在}$

ガンマ関数

定義

\Gamma(s)=\int_0^\infty{x^{s-1}\exp{(-x)}dx}\,(s>0)

性質

$s>1$ のとき
$\Gamma(s)=(s-1)\Gamma(s-1)$
$s$ が正の整数のとき
$\Gamma(s)=(s-1)!$
$\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$

ラグランジュの未定乗数法

一般に

\begin{gathered} \min f(\bold{x}) \\ \text{subject to} \, \begin{cases} \bold{g}_i(\bold{x}) &= 0 \, (i = 1,2,\dots,m) \\ \bold{h}_j(\bold{x}) &\le 0 \, (j = 1,2,\dots,l) \end{cases} \end{gathered}

の局所最小解が $\bar{\bold{x}}$ であるとき $\{\bold{g}_1(\bold{x}), \dots, \bold{g}_m(\bold{x}), \bold{h}_1(\bold{x}), \dots, \bold{h}_l(\bold{x})\}$ が一次独立ならば、ある実数 $\bm{\lambda}_i \, (i=1,2,\dots,m), \bm{\mu}_j \, (j=1,2,\dots,l)$ が存在し、以下が成り立つ。

\begin{aligned} -\nabla f(\bar{\bold{x}}) &= \sum_{i=1}^m {\bm{\lambda}_i \nabla \bold{g}_i(\bar{\bold{x}})} + \sum_{j=1}^l {\bm{\mu}_j \nabla \bold{h}_j(\bar{\bold{x}})} \\ \bm{\lambda}_i \bold{g}_i(\bar{\bold{x}}) &= 0 \\ \bm{\lambda}_i &\ge 0 \\ \bold{g}_i(\bar{\bold{x}}) &\le 0 \\ \bold{h}_i(\bar{\bold{x}}) &= 0 \end{aligned}

これらの条件をKKT条件 (Karush-Kuhn-Tucker condition) という。 凸最適化問題において、KKT条件は最適解の必要十分条件となる。

参考文献

井上満, 工業数学がわかる, 技術評論社, 2010
Wikipedia, オイラーの公式
Wikipedia, イプシロン-デルタ論法
Wikipedia, ロピタルの定理
Wikipedia, 一般のライプニッツの法則
ヨビノリたくみ, 【大学数学】ガウス積分の証明【解析学】, 2017
ヨビノリたくみ, 【大学数学】双曲線関数とは何か【解析学】, 2017
ヨビノリたくみ, 【大学数学】テイラー展開の気持ち【解析学】 - YouTube, 2017
ヨビノリたくみ, ロピタルの定理 ①(定理と使用例), 2020
ヨビノリたくみ, 【大学数学】フーリエ解析入門 ①(フーリエ級数展開 I)/全 5 講【解析学】, 2017
ヨビノリたくみ, 【大学数学】フーリエ解析入門 ②(フーリエ級数展開 II)/全 5 講【解析学】, 2017
ヨビノリたくみ, 【大学数学】フーリエ解析入門 ③(フーリエ級数展開 III)/全 5 講【解析学】, 2020
ヨビノリたくみ, 【大学数学】フーリエ解析入門 ④(フーリエ級数展開 IV)/全 5 講【解析学】, 2020
ヨビノリたくみ, 【大学数学】sup と inf(上限と下限)【解析学】, 2018
ヨビノリたくみ, 【大学数学】ガンマ関数 ①(定義と性質)【解析学】, 2019
ヨビノリたくみ, ラグランジュの未定乗数法の気持ち【条件付き極値問題】, 2021

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