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量子計算

#量子計算#量子論#量子力学#勉強ノート#WIP
古典ビット量子ビット
物理的実体電圧の高低量子状態 (電子のスピン, 光の偏光, ...)
数学的理想化(古典) ビット 0,10,1量子ビット α∣0⟩+β∣1⟩\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}
基本操作 (ゲート)AND, OR, NOT, ...X, Y, Z, H, T, S, ...

量子ビットと確率

量子ビット

α∣0⟩+β∣1⟩(α,β∈C,∣α∣2+∣β∣2=1)\alpha \ket{0} + \beta \ket{1} \quad (\alpha, \beta \in \mathbb{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1)

を観測すると、確率 ∣α∣2,∣β∣2|\alpha|^2, |\beta|^2 で状態 ∣0⟩,∣1⟩\ket{0}, \ket{1} が得られる。

例
  1. ∣0⟩=1×∣0⟩+0×∣1⟩\ket{0} = 1 \times \ket{0} + 0 \times \ket{1} を観測すると、確率 ∣1∣2|1|^2 で ∣0⟩\ket{0} が得られる。 つまり、確実に ∣0⟩\ket{0} が得られる。
  2. ∣1⟩=0×∣0⟩+1×∣1⟩\ket{1} = 0 \times \ket{0} + 1 \times \ket{1} を観測すると、確率 ∣1∣2|1|^2 で ∣1⟩\ket{1} が得られる。 つまり、確実に ∣1⟩\ket{1} が得られる。
  3. 12∣0⟩+12∣1⟩\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{1} を観測すると、確率 12\frac{1}{2} で ∣0⟩\ket{0} または ∣1⟩\ket{1} が得られる。
  4. 12∣0⟩−12∣1⟩\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} - \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{1} を観測すると、確率 12\frac{1}{2} で ∣0⟩\ket{0} または ∣1⟩\ket{1} が得られる。 3.,4. より、異なる量子ビットが同じ確率分布をもちうることが分かる。

量子ビットのベクトル表現

量子ビット α∣0⟩+β∣1⟩\alpha \ket{0} + \beta \ket{1} は、

[αβ]∈C2\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^2

というベクトルで表現できる。

例
  1. ∣0⟩=1×∣0⟩+0×∣1⟩\ket{0} = 1 \times \ket{0} + 0 \times \ket{1} は [10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
  2. ∣1⟩=0×∣0⟩+1×∣1⟩\ket{1} = 0 \times \ket{0} + 1 \times \ket{1} は [01]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
  3. 12∣0⟩+12∣1⟩\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{1} は [1212]\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}
  4. 12∣0⟩−12∣1⟩\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} - \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{1} は [12−12]\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}

量子ゲートの行列表現

例えば XX ゲートは、∣0⟩↦∣1⟩,∣1⟩↦∣0⟩\ket{0} \mapsto \ket{1}, \ket{1} \mapsto \ket{0} という操作を表す。 (つまり、XX ゲートはビット反転を表す)

このとき XX ゲートは行列を用いて

X=[0110]X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

と表せる。

例えば XX ゲートを [αβ]\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} に作用させると

X([αβ])=[0110][αβ]=[βα]X\left(\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta \\ \alpha \end{bmatrix}

となり、∣0⟩↦∣1⟩,∣1⟩↦∣0⟩\ket{0} \mapsto \ket{1}, \ket{1} \mapsto \ket{0} が確認できる。

他の量子ゲート

Y=[0−ii0]Z=[100−1]H=12[111−1]S=[100i]R=[100exp⁡(iπ4)]\begin{aligned} Y &= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \\ Z &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ H &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \\ S &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} \\ R &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \exp(\frac{i\pi}{4}) \end{bmatrix} \end{aligned}

アダマールゲート HH

H=12[111−1]H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

∣0⟩,∣1⟩\ket{0}, \ket{1} に HH ゲートを作用させると

H([10])=12[111−1][10]=[1212]H([01])=12[111−1][01]=[12−12]\begin{aligned} H\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right) &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \\ H\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \end{aligned}

となり、HH ゲートは

∣0⟩↦12∣0⟩+12∣1⟩∣1⟩↦12∣0⟩−12∣1⟩\begin{aligned} \ket{0} &\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ket{1} \\ \ket{1} &\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ket{1} \end{aligned}

という操作を表すことが分かる。

また、H2=IH^2 = I (II は単位行列) であることから、HH ゲートを2回作用させると元の状態に戻ることが分かる。

Hゲートを2回作用させた例
H2([10])=H([1212])=12[111−1][1212]=[10]H2([01])=H([12−12])=12[111−1][12−12]=[01]\begin{aligned} H^2\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right) &= H\left( \begin{bmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \right) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ H^2\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) &= H\left( \begin{bmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \right) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

テンソル積

2つの量子ビット ψ=α∣0⟩+β∣1⟩,ϕ=γ∣0⟩+δ∣1⟩\psi = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1}, \phi = \gamma \ket{0} + \delta \ket{1} があるとき、これらのテンソル積は

ψ⊗ϕ\psi \otimes \phi

で表される。

これを計算すると

ψ⊗ϕ=(α∣0⟩+β∣1⟩)⊗(γ∣0⟩+δ∣1⟩)=α∣0⟩⊗γ∣0⟩+α∣0⟩⊗δ∣1⟩+β∣1⟩⊗γ∣0⟩+β∣1⟩⊗δ∣1⟩=αγ∣0⟩⊗∣0⟩+αδ∣0⟩⊗∣1⟩+βγ∣1⟩⊗∣0⟩+βδ∣1⟩⊗∣1⟩\begin{aligned} \psi \otimes \phi &= (\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}) \otimes (\gamma \ket{0} + \delta \ket {1}) \\ &= \alpha \ket{0} \otimes \gamma \ket{0} + \alpha \ket{0} \otimes \delta \ket{1} + \beta \ket{1} \otimes \gamma \ket{0} + \beta \ket{1} \otimes \delta \ket{1} \\ &= \alpha \gamma \ket{0} \otimes \ket{0} + \alpha \delta \ket{0} \otimes \ket{1} + \beta \gamma \ket{1} \otimes \ket{0} + \beta \delta \ket{1} \otimes \ket{1} \end{aligned}

となる。

また、あるテンソル積 ∣a⟩⊗∣b⟩\ket{a} \otimes \ket{b} は ∣ab⟩\ket{ab} と表すことができる。 (abab は aa と bb の連結) これを用いると

ψ⊗ϕ=αγ∣00⟩+αδ∣01⟩+βγ∣10⟩+βδ∣11⟩\psi \otimes \phi = \alpha \gamma \ket{00} + \alpha \delta \ket{01} + \beta \gamma \ket{10} + \beta \delta \ket{11} \\

と表せる。

量子ビット ψ⊗ϕ\psi \otimes \phi を観測すると、確率 ∣αγ∣2,∣αδ∣2,∣βγ∣2,∣βδ∣2|\alpha \gamma|^2, |\alpha \delta|^2, |\beta \gamma|^2, |\beta \delta|^2 で状態 ∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩\ket{00}, \ket{01}, \ket{10}, \ket{11} が得られる。

2量子ビットと関数

xx に対する関数 y=f(x)y = f(x) を量子ビットで表現すると

Uf(∣a⟩⊗∣b⟩)=∣a⟩⊗∣b⊕f(a)⟩U_f (\ket{a} \otimes \ket{b}) = \ket{a} \otimes \ket{b \oplus f(a)}

と表せる。

なぜ Vf(∣a⟩)=∣f(a)⟩V_f(\ket{a}) = \ket{f(a)} と表現できないのか

詳細は省く (というか私が分かってない) が、このような VfV_f はハードウェアで実装できない。 (ユニタリでない)

例

f(0)=0,f(1)=1f(0) = 0, f(1) = 1 の場合を考える。

aabbUf(∣a⟩⊗∣b⟩)U_f(\ket{a} \otimes \ket{b})
0000∣00⟩\ket{00}
0011∣01⟩\ket{01}
1100∣11⟩\ket{11}
1111∣10⟩\ket{10}

上2行を見ると、f(a)=0f(a) = 0 なので、2ビット目がそのまま bb になっている。 下2行を見ると、f(a)=1f(a) = 1 なので、2ビット目が b⊕1b \oplus 1 (bb の反転) になっている。

f(0)=1,f(1)=1f(0) = 1, f(1) = 1 の場合を考える。

aabbUf(∣a⟩⊗∣b⟩)U_f(\ket{a} \otimes \ket{b})
0000∣01⟩\ket{01}
0011∣00⟩\ket{00}
1100∣11⟩\ket{11}
1111∣10⟩\ket{10}

Deutsch アルゴリズム

関数 y=f(x)y = f(x) は f(0)=f(1)f(0) = f(1) または f(0)≠f(1)f(0) \neq f(1) のどちらを満たすかを判定したいとする。

古典計算では、f(0)=f(1)f(0) = f(1) か f(0)≠f(1)f(0) \neq f(1) かを判定するためには、f(0),f(1)f(0), f(1) を計算して比較する必要がある。 量子計算では、Deutsch アルゴリズムを用いることで、この判定を1回の計算で行うことができる。

具体的には

(H⊗1)Uf(H⊗H)∣01⟩の左の量子ビット={0(f(0)=f(1))1(f(0)≠f(1))(H \otimes 1) U_f (H \otimes H) \ket{01} \text{の左の量子ビット} = \begin{cases} 0 & (f(0) = f(1)) \\ 1 & (f(0) \neq f(1)) \end{cases}
証明

まず H⊗H∣01⟩H \otimes H \ket{01} を計算すると

(H⊗H)∣01⟩=H∣0⟩⊗H∣1⟩=(12∣0⟩+12∣1⟩)⊗(12∣0⟩−12∣1⟩)=12∣00⟩−12∣01⟩+12∣10⟩−12∣11⟩=12[∣0⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)+∣1⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)]\begin{aligned} (H \otimes H) \ket{01} &= H \ket{0} \otimes H \ket{1} \\ &= (\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ket{1}) \otimes (\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ket{1}) \\ &= \dfrac{1}{2} \ket{00} - \dfrac{1}{2} \ket{01} + \dfrac{1}{2} \ket{10} - \dfrac{1}{2} \ket{11} \\ &= \dfrac{1}{2} [ \ket{0} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) + \ket{1} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) ] \\ \end{aligned}

これに UfU_f を作用させると

Uf(H⊗H)∣01⟩=Uf(12{∣0⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)+∣1⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)})=12{Uf[∣0⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)]+Uf[∣1⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)]}=12[∣0⟩⊗(∣0⊕f(0)⟩−∣1⊕f(0)⟩)+∣1⟩⊗(∣0⊕f(1)⟩−∣1⊕f(1)⟩)]={12[∣0⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)+∣1⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)](f(0)=0)12[∣0⟩⊗(∣1⟩−∣0⟩)+∣1⟩⊗(∣1⟩−∣0⟩)](f(0)=1)\begin{aligned} U_f (H \otimes H) \ket{01} &= U_f \left( \dfrac{1}{2} \{ \ket{0} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) + \ket{1} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) \} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \{ U_f [\ket{0} \otimes (\ket{0} - \ket{1})] + U_f [\ket{1} \otimes (\ket{0} - \ket{1})] \} \\ &= \dfrac{1}{2} [ \ket{0} \otimes ( \ket{0 \oplus f(0)} - \ket{1 \oplus f(0)} ) + \ket{1} \otimes ( \ket{0 \oplus f(1)} - \ket{1 \oplus f(1)} ) ] \\ &= \begin{cases} \dfrac{1}{2} [ \ket{0} \otimes ( \ket{0} - \ket{1} ) + \ket{1} \otimes ( \ket{0} - \ket{1} ) ] & (f(0) = 0) \\ \dfrac{1}{2} [ \ket{0} \otimes ( \ket{1} - \ket{0} ) + \ket{1} \otimes ( \ket{1} - \ket{0} ) ] & (f(0) = 1) \end{cases} \end{aligned}

ここで (−1)f(x)={1(f(x)=0)−1(f(x)=1)(-1)^{f(x)} = \begin{cases} 1 & (f(x) = 0) \\ -1 & (f(x) = 1) \end{cases} であることを用いると

Uf(H⊗H)∣01⟩=12[(−1)f(0)∣0⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)+(−1)f(1)∣1⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)]U_f (H \otimes H) \ket{01} = \dfrac{1}{2} [ (-1)^{f(0)} \ket{0} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) + (-1)^{f(1)} \ket{1} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) ]

これに H⊗1H \otimes 1 を作用させると

(H⊗1)12Uf(H⊗H)∣01⟩=(H⊗1)12[(−1)f(0)∣0⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)+(−1)f(1)∣1⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)]=122[(−1)f(0)(∣0⟩+∣1⟩)⊗(∣0⟩−∣1⟩)+(−1)f(1)(∣0⟩−∣1⟩)⊗(∣0⟩−∣1⟩)]=122{[(−1)f(0)+(−1)f(1)]∣0⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)+[(−1)f(0)−(−1)f(1)]∣1⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)}\begin{aligned} (H \otimes 1) \dfrac{1}{2} U_f (H \otimes H) \ket{01} &= (H \otimes 1) \dfrac{1}{2} [ (-1)^{f(0)} \ket{0} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) + (-1)^{f(1)} \ket{1} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) ] \\ &= \dfrac{1}{2 \sqrt{2}} [ (-1)^{f(0)} (\ket{0} + \ket{1}) \otimes (\ket{0} - \ket{1}) + (-1)^{f(1)} (\ket{0} - \ket{1}) \otimes (\ket{0} - \ket{1}) ] \\ &= \dfrac{1}{2 \sqrt{2}} \{ [ (-1)^{f(0)} + (-1)^{f(1)} ] \ket{0} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) + [ (-1)^{f(0)} - (-1)^{f(1)} ] \ket{1} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) \} \end{aligned}

ここで

(−1)f(0)+(−1)f(1)={2(−1)f(0)(f(0)=f(1))0(f(0)≠f(1))(−1)f(0)−(−1)f(1)={0(f(0)=f(1))2(−1)f(0)(f(0)≠f(1))\begin{aligned} (-1)^{f(0)} + (-1)^{f(1)} &= \begin{cases} 2 (-1)^{f(0)} & (f(0) = f(1)) \\ 0 & (f(0) \neq f(1)) \end{cases} \\ (-1)^{f(0)} - (-1)^{f(1)} &= \begin{cases} 0 & (f(0) = f(1)) \\ 2 (-1)^{f(0)} & (f(0) \neq f(1)) \end{cases} \end{aligned}

であることを用いると

(H⊗1)Uf(H⊗H)∣01⟩={12(−1)f(0)∣0⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)(f(0)=f(1))12(−1)f(0)∣1⟩⊗(∣0⟩−∣1⟩)(f(0)≠f(1))(H \otimes 1) U_f (H \otimes H) \ket{01} = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2}} (-1)^{f(0)} \ket{0} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) & (f(0) = f(1)) \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} (-1)^{f(0)} \ket{1} \otimes (\ket{0} - \ket{1}) & (f(0) \neq f(1)) \end{cases}

となり、これを観測すると

左の量子ビット={0(f(0)=f(1))1(f(0)≠f(1))\text{左の量子ビット} = \begin{cases} 0 & (f(0) = f(1)) \\ 1 & (f(0) \neq f(1)) \end{cases}

となる。