ベクトル解析

ベクトル空間

空でない集合 $\Bbb{V}$ について $\Bbb{V}$ の任意の元 $\bold{a},\bold{b}$ に対して $\bold{a}+\bold{b}\in\Bbb{V}$、$\Bbb{V}$ の任意の元 $\bold{a}$ と $\Bbb{R}$ の任意の元 $k$ (スカラー) に対して $k\bold{a}\in\Bbb{V}$ が定義されていて、以下の性質を全て満たすとき、$\Bbb{V}$ を $\Bbb{R}$ 上のベクトル空間という。

• ベクトル加法の結合律を満たす。

  $$(\bold{a}+\bold{b})+\bold{c}=\bold{a}+(\bold{b}+\bold{c})$$

• ベクトル加法の可換律を満たす。

  $$\bold{a}+\bold{b}=\bold{b}+\bold{a}$$

• ベクトル加法の単位元が存在する。

  $$\forall{\bold{a}\in\Bbb{V}},\bold{a}+\bold{0}=\bold{a}$$

• ベクトル加法の逆元が存在する。

  $$\forall{\bold{a}\in\Bbb{V}},\exist{\bold{x}\in\Bbb{V}},\bold{a}+\bold{x}=\bold{0}$$

• ベクトル加法に対するスカラー乗法の分配律を満たす。

  $$k(\bold{a}+\bold{b})=k\bold{a}+k\bold{b}$$

• 体の加法に対するスカラー乗法の分配律を満たす。

  $$(k+l)\bold{a}=k\bold{a}+l\bold{a}$$

• 体の乗法とスカラー乗法の条件が両立する。

  $$k(l\bold{a})=(kl)\bold{a}$$

• スカラー乗法の単位元が存在する。

  $$1\bold{a}=\bold{a}$$

定理

• $0\bold{a}=\bold{0}$

  証明

  公理より

  $$k\bold{a}+l\bold{a}=(k+l)\bold{a}$$

  ここで $k=l=0$ とすると

  $$\begin{aligned} 0\bold{a}+0\bold{a}&=0\bold{a}\\ 0\bold{a}+0\bold{a}-0\bold{a}&=0\bold{a}-0\bold{a}\\ \therefore0\bold{a}&=\bold{0} \end{aligned}$$

• $(-1)\bold{a}=-\bold{a}$

  証明

  公理より

  $$k\bold{a}+l\bold{a}=(k+l)\bold{a}$$

  ここで $k=1,l=-1$ とすると

  $$\begin{aligned} 1\bold{a}+(-1)\bold{a}&=0\bold{a}\\ \bold{a}+(-1)\bold{a}&=\bold{0}\\ \bold{a}+(-\bold{a})+(-1)\bold{a}&=\bold{0}+(-\bold{a})\\ \therefore(-1)\bold{a}&=-\bold{a} \end{aligned}$$