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群論

#数学#代数学#群論#勉強ノート

群

定義

集合 GG に対して二項演算 ∘\circ

G→G(a,b)↦a∘bG\to G\\ (a,b)\mapsto a\circ b

が与えられていて、以下の条件を全て満たすとき、GG を群という。

  • 結合律

    ∀a,b,c∈G,(a∘b)∘c=a∘(b∘c)\forall{a,b,c\in G},(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)

  • 単位元の存在

    a∘e=e∘a=aa\circ e=e\circ a=a を GG のどんな元 aa に対しても満たすような GG の元 ee が存在する。

    ∀a∈G,∃e∈G,a∘e=e∘a=a\forall{a\in G},\exist{e\in G},a\circ e=e\circ a=a

    e は存在すれば一意であり、e を G の単位元という。

  • 逆元の存在

    GG のどんな元 aa に対しても a∘x=x∘a=ea\circ x=x\circ a=e となるような GG の元 xx が存在する。

    ∀a∈G,∃x∈G,a∘x=x∘a=e\forall{a\in G},\exist{x\in G},a\circ x=x\circ a=e

    xx は存在すれば一意である。 xx を aa の GG における逆元といい、a−1a^{-1} で表す。

また、群 GG の元の個数を GG の位数といい、∣G∣|G| で表す。

以降、a∘ba\circ b を abab で表す。

定理

  • 群 GG に対し、単位元は一意である。

    証明

    2つの単位元を e,e′e,e' とする。

    ee は単位元であることから

    ee′=e′(1)ee'=e'\tag{1}

    e′e' は単位元であることから

    ee′=e(2)ee'=e\tag{2}

    (1), (2) より

    ee′=e=e′ee'=e=e'

  • 任意の a∈Ga\in G に対し、逆元は一意である。

    証明

    aa の2つの逆元を b,b′b,b' とする。 b′a=eb'a=e より

    b=(b′a)b=b′(ab)=b′b=(b'a)b=b'(ab)=b'

可換群

任意の a,b∈Ga,b\in G に対して交換法則を満たすとき、具体的には

ab=baab=ba

が成立するとき、GG を可換群 (アーベル群) という。

部分群

定義

群 GG の空でない部分集合 HH が GG の二項演算によって群になるとき、HH を GG の部分群といい、H≤GH\le G と表す。

定理

  • HH の単位元 e′e' と GG の単位元 ee は一致する。

    証明

    e′e' の GG での逆元 x∈Gx\in G をとると

    e′=(xe′)e′=x(e′e′)=ee'=(xe')e'=x(e'e')=e

  • HH と GG の逆元は一致する。

    証明

    c∈Hc\in H の H,GH,G での逆元をそれぞれ c′,xc',x とすると

    c′=c′e=c′(cx)=(cc′)x=xc'=c'e=c'(cx)=(cc')x=x

  • 群 GG の空でない部分集合 HH に対し

    H は G の部分群  ⟺  ∀a,b∈H,a−1b∈HH\,\text{は}\,G\,\text{の部分群}\iff\forall a,b\in H,a^{-1}b\in H

    が成立。

    証明

      ⟹  \implies の成立は自明であるため、  ⟸  \impliedby の成立を示す。

    H≠∅H\ne\empty より、a∈Ha\in H がとれ

    a−1,b∈Ha^{-1},b\in H に対し

    (a−1)−1b=ab∈H(a^{-1})^{-1}b=ab\in H

    よって演算に対して閉じている。

    a∈Ha\in H より、a−1a=e∈Ha^{-1}a=e\in H

    a−1a=e∈Ha^{-1}a=e\in H

    よって単位元が存在。

    a,e∈Ha,e\in H より、a−1e=a−1∈Ha^{-1}e=a^{-1}\in H

    a−1e=a−1∈Ha^{-1}e=a^{-1}\in H

    よって逆元が存在。

    HH が GG と同じ演算について閉じているので、結合律の成立は明らか。

同値関係/同値類

同値関係の定義

集合 SS において、関係 ∼\sim が定義されていて、2元 x,y∈Sx,y\in S に対し、x∼yx\sim y であるか、x∼yx\sim y でないかのいずれかが成立し、かつ次の3条件を満たすとき、関係 ∼\sim を同値関係という。

  • 反射律を満たす

    x∼xx\sim x

  • 対称律を満たす

    x∼y  ⟹  y∼xx\sim y\implies y\sim x

  • 推移律を満たす

    x∼y∧y∼z  ⟹  x∼zx\sim y\land y\sim z\implies x\sim z

同値類の定義

∼\sim を集合 SS 上の同値関係とする。 x∈Sx\in S に対し

C(x)={y∈S∣x∼y}C(x)=\{y\in S\mid x\sim y\}

を xx の同値類という。

同値類の定理

  • ∀y,z∈C(x),y∼z\forall{y,z\in C(x)},y\sim z

    証明

    y∈C(x)y\in C(x) より

    x∼yx\sim y

    z∈C(x)z\in C(x) より

    x∼z∴z∼xx\sim z\\ \therefore{z\sim x}

    よって、推移律より

    x∼zx\sim z

  • y∈C(x)  ⟹  C(x)=C(y)y\in C(x)\implies C(x)=C(y)

    証明

    y∈C(x)y\in C(x) より

    ∀z∈C(x),y∼z\forall{z\in C(x)},y\sim z

    よって

    z∈C(y)∴C(x)⊂C(y)(1)z\in C(y)\\ \therefore C(x)\subset C(y)\tag{1}

    y∈C(x)y\in C(x) より

    x∼y∴y∼xx\sim y\\ \therefore{y\sim x}

    x∈C(y)x\in C(y) であり

    ∀w∈C(y),x∼w∴w∈C(x)\forall{w\in C(y)},x\sim w\\ \therefore{w\in C(x)}

    よって

    C(x)⊃C(y)(2)C(x)\supset C(y)\tag{2}

    (1), (2) より

    C(x)=C(y)C(x)=C(y)

  • C(x)∧C(y)≠∅  ⟹  C(x)=C(y)C(x)\land C(y)\ne\empty\implies C(x)=C(y)

    証明

    z∈C(x)∧C(y)z\in C(x)\land C(y) をとる。

    このとき、C(x)=C(z),C(y)=C(z)C(x)=C(z),C(y)=C(z) となるので

    C(x)=C(y)C(x)=C(y)

商集合

集合 SS の同値関係 ∼\sim から定まる、同値類すべてを集めた集合のことを、 SS の ∼\sim による商集合であるといい、S/∼S/\sim で表す。

S/∼:={C(x1),C(x2),C(x3),… }S/\sim:=\{C(x_1),C(x_2),C(x_3),\dots\}

C(x1),C(x2),C(x3),…C(x_1),C(x_2),C(x_3),\dots の各集合の要素に重複はない。

剰余類

定義

HH を群 GG の部分群とする。 a,b∈Ga,b\in G に対し、a−1b∈Ha^{-1}b\in H となるとき a∼ba\sim b と定義する。

これは同値関係であり、a∈Ga\in G の同値類を aa の HH による左剰余類という。 また、a,b∈Ha,b\in H に対し、ba−1∈Hba^{-1}\in H を a∼ba\sim b の定義としたものを、aa の HH による右剰余類という。

GG が可換群であれば、左剰余類と右剰余類は同じ。
関係 ~ が同値関係であることの証明

aa を HH の左剰余類とする。

x∈Gx\in G より

x−1x=e∈H∴x∼xx^{-1}x=e\in H\\ \therefore x\sim x

よって、反射律を満たす。

x,y∈Gx,y\in G で x∼yx\sim y とすると

x−1y∈Hx^{-1}y\in H

HH は部分群なので

(x−1y)−1=y−1x∈H∴y∼x(x^{-1}y)^{-1}=y^{-1}x\in H\\ \therefore y\sim x

よって、対象律を満たす。

x,y∈Gx,y\in G で x∼y,y∼zx\sim y,y\sim z とすると

x−1y,y−zz∈Hx^{-1}y,y^{-z}z\in H

HH は部分群なので

(x−1y)(y−1z)=x−1(yy−1)z=x−1z∈H∴x∼z(x^{-1}y)(y^{-1}z)=x^{-1}(yy^{-1})z=x^{-1}z\in H\\ \therefore{x\sim z}

よって、推移律を満たす。

以上より関係 ∼\sim は同値関係である。

また、右剰余類についても同様に証明できる。

左剰余類の意味の考察

左剰余類は aa を定数として群 GG の部分群 HH の元を左から掛けたもの。

C(a)={x∈G∣a∼x}={x∈G∣a−1x∈H}={ah∣h∈H}=aH\begin{aligned} C(a)&=\{x\in G\mid a\sim x\}\\ &=\{x\in G\mid a^{-1}x\in H\}\\ &=\{ah\mid h\in H\}\\ &=aH \end{aligned}

定理

  • ∀a,b∈G,∣aH∣=∣bH∣\forall a,b\in G,|aH|=|bH|

    証明

    ∀a∈G,∣H∣=∣aH∣\forall a\in G,|H|=|aH| を示せばよい。

    f:H→aHh↦ah\begin{aligned} f:&H&\to&\enspace aH\\ &h&\mapsto&\enspace ah \end{aligned}

    ff は全単射になっており、∴∣H∣=∣aH∣\therefore|H|=|aH|

正規部分群

定義

HH を GG の部分群とする。 すべての a∈Ga\in G に対し、aH=HaaH=Ha となるとき、HH を GG の正規部分群といい、H⊴GH\trianglelefteq G と表す。

可換群 GG の部分群はすべて正規部分群。

正規部分群の意味の考察

aH⋅bH=abH  (a,b∈G,H≤G)aH\cdot bH=abH\;(a,b\in G,H\le G)

を満たす群 HH を考える。

この演算がwell-definedであるためには

aH=a′H,bH=b′H  ⟹  abH=a′b′HaH=a'H,bH=b'H\implies abH=a'b'H

を満たさなければならない。

ここで a′=ah1,b′=bh2;(h1,h2∈H)a'=ah_1,b'=bh_2\\;(h_1,h_2\in H) とおくと

a′b′H=ah1bh2Ha'b'H=ah_1bh_2H

もし HH が正規部分群であれば

a′b′=abh1′h2  (h1′∈H)=abH∴a′b′H=abH\begin{aligned} a'b'&=abh_1'h_2\;(h_1'\in H)\\ &=abH\\ \therefore a'b'H&=abH \end{aligned}

となり成立する。

正規部分群の剰余類

NN を GG の正規部分群とする。 剰余類 aNaN と bNbN の積を aN⋅bN=abNaN\cdot bN=abN と定義すると、 G/NG/N はこの演算によって群となり、この群を GG の正規部分群 NN に関する剰余類という。

G/N が群であることの証明
  • 演算に対して閉じていることは明らか。
  • 単位元 eNeN が存在。
  • aNaN の逆元 a−1Na^{-1}N が存在。

よって結合律の成立を示す。

(aN⋅bN)⋅cN=abN⋅cN=abcN=aN⋅(bN⋅cN)\begin{aligned} (aN\cdot bN)\cdot cN&=abN\cdot cN\\ &=abcN\\ &=aN\cdot(bN\cdot cN) \end{aligned}

となり、結合律が成り立つため、G/NG/N は群である。

準同型写像

定義

G,G′G,G' が群であり、かつ写像 f:G→G′f:G\to G' が

∀x,y∈G,f(xy)=f(x)f(y)\forall{x,y\in G},f(xy)=f(x)f(y)

を満たすとき ff を準同型写像という。

定理

  • f(e)=e′f(e)=e' (e′e' は G′G' の単位元)

    証明
    f(e)&=f(ee)=f(e)f(e)\\ &=e' \end{aligned}

  • f(x−1)=f(x)−1f(x^{-1})=f(x)^{-1}

    証明
    f(x)f(x−1)=f(xx−1)=f(e)=e′f(x−1)f(x)=f(x−1x)=f(e)=e′\begin{aligned} f(x)f(x^{-1})=f(xx^{-1})=f(e)=e'\\ f(x^{-1})f(x)=f(x^{-1}x)=f(e)=e' \end{aligned}

    よって

    f(x−1)=f(x)−1f(x^{-1})=f(x)^{-1}

核と像

群の準同型写像 ff に対して

ker⁡f={x∈G∣f(x)=e′}imf={f(x)∈G′∣x∈G}\begin{aligned} \ker{f}&=\{x\in G\mid f(x)=e'\}\\ \text{im}f&=\{f(x)\in G'\mid x\in G\} \end{aligned}

核と像の定理

  • ker⁡f⊴G\ker{f}\trianglelefteq G

    証明
    ∀a,b∈ker⁡f,f(a−1b)=f(a−1)f(b)=f(a)−1f(b)=e′−1e′=e′e′=e′\begin{aligned} \forall{a,b\in\ker{f}},f(a^{-1}b)&=f(a^{-1})f(b)=f(a)^{-1}f(b)=e'^{-1}e'=e'e'\\ &=e' \end{aligned}

    よって ker⁡f≤G\ker{f}\le G

    ∀a∈ker⁡f,∀x∈G,f(xax−1)=f(x)f(a)f(x)−1=f(x)f(x)−1=e′∴xax−1∈ker⁡f\begin{aligned} \forall{a\in\ker{f}},\forall{x\in G},f(xax^{-1})&=f(x)f(a)f(x)^{-1}\\ &=f(x)f(x)^{-1}\\ &=e'\\ \therefore xax^{-1}&\in\ker{f} \end{aligned}

    よって ker⁡f⊴G\ker{f}\trianglelefteq G

  • imf≤G\text{im}f\le G

    証明
    ∀f(a),f(b)∈imf,f(a)−1f(b)=f(a−1b)∈imf\forall{f(a),f(b)\in\text{im}f},f(a)^{-1}f(b)=f(a^{-1}b)\in\text{im}f

    よって imf≤G\text{im}f\le G

準同型定理

f:G→G′f:G\to G' を準同型写像とする。このとき

φ:G/ker⁡f→imfxker⁡f↦f(x)\begin{aligned} \varphi:&G/\ker{f}&\to\text{im}f\\ &x\ker{f}&\mapsto f(x) \end{aligned}

は同型写像である。すなわち

G/ker⁡f≃imfG/\ker{f}\simeq\text{im}f

特に ff が全射であるとき

G/ker⁡f≃G′G/\ker{f}\simeq{G'}

が成り立つ。