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群論

#数学#代数学#群論#勉強ノート
2022年4月21日12 min

群

定義

集合 GG に対して二項演算 ∘\circ

G→G(a,b)↦a∘b\begin{aligned} G &\to G\\ (a,b) &\mapsto a\circ b \end{aligned}

が与えられていて、以下の条件を全て満たすとき、GG を群という。

  • 結合律

    ∀a,b,c∈G,(a∘b)∘c=a∘(b∘c)\forall{a,b,c\in G},(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)

  • 単位元の存在

    a∘e=e∘a=aa\circ e=e\circ a=a を GG のどんな元 aa に対しても満たすような GG の元 ee が存在する。

    ∀a∈G,∃e∈G,a∘e=e∘a=a\forall{a\in G},\exist{e\in G},a\circ e=e\circ a=a

    e は存在すれば一意であり、e を G の単位元という。

  • 逆元の存在

    GG のどんな元 aa に対しても a∘x=x∘a=ea\circ x=x\circ a=e となるような GG の元 xx が存在する。

    ∀a∈G,∃x∈G,a∘x=x∘a=e\forall{a\in G},\exist{x\in G},a\circ x=x\circ a=e

    xx は存在すれば一意である。 xx を aa の GG における逆元といい、a−1a^{-1} で表す。

また、群 GG の元の個数を GG の位数といい、∣G∣|G| で表す。

以降、a∘ba\circ b を abab で表す。

定理

  • 群 GG に対し、単位元は一意である。

  • 任意の a∈Ga\in G に対し、逆元は一意である。

可換群

任意の a,b∈Ga,b\in G に対して交換法則を満たすとき、具体的には

ab=baab=ba

が成立するとき、GG を可換群 (アーベル群) という。

部分群

定義

群 GG の空でない部分集合 HH が GG の二項演算によって群になるとき、HH を GG の部分群といい、H≤GH\le G と表す。

定理

  • HH の単位元 e′e' と GG の単位元 ee は一致する。

  • HH と GG の逆元は一致する。

  • 群 GG の空でない部分集合 HH に対し

    H は G の部分群  ⟺  ∀a,b∈H,a−1b∈HH\,\text{は}\,G\,\text{の部分群}\iff\forall a,b\in H,a^{-1}b\in H

    が成立。

同値関係/同値類

同値関係の定義

集合 SS において、関係 ∼\sim が定義されていて、2元 x,y∈Sx,y\in S に対し、x∼yx\sim y であるか、x∼yx\sim y でないかのいずれかが成立し、かつ次の3条件を満たすとき、関係 ∼\sim を同値関係という。

  • 反射律を満たす

    x∼xx\sim x

  • 対称律を満たす

    x∼y  ⟹  y∼xx\sim y\implies y\sim x

  • 推移律を満たす

    x∼y∧y∼z  ⟹  x∼zx\sim y\land y\sim z\implies x\sim z

同値類の定義

∼\sim を集合 SS 上の同値関係とする。 x∈Sx\in S に対し

C(x)={y∈S∣x∼y}C(x)=\{y\in S\mid x\sim y\}

を xx の同値類という。

同値類の定理

  • ∀y,z∈C(x),y∼z\forall{y,z\in C(x)},y\sim z

  • y∈C(x)  ⟹  C(x)=C(y)y\in C(x)\implies C(x)=C(y)

  • C(x)∧C(y)≠∅  ⟹  C(x)=C(y)C(x)\land C(y)\ne\empty\implies C(x)=C(y)

商集合

集合 SS の同値関係 ∼\sim から定まる、同値類すべてを集めた集合のことを、 SS の ∼\sim による商集合であるといい、S/∼S/\sim で表す。

S/∼:={C(x1),C(x2),C(x3),… }S/\sim:=\{C(x_1),C(x_2),C(x_3),\dots\}
補足

C(x1),C(x2),C(x3),…C(x_1),C(x_2),C(x_3),\dots の各集合の要素に重複はない。

剰余類

定義

HH を群 GG の部分群とする。 a,b∈Ga,b\in G に対し、a−1b∈Ha^{-1}b\in H となるとき a∼ba\sim b と定義する。

これは同値関係であり、a∈Ga\in G の同値類を aa の HH による左剰余類という。 また、a,b∈Ha,b\in H に対し、ba−1∈Hba^{-1}\in H を a∼ba\sim b の定義としたものを、aa の HH による右剰余類という。

補足
GG が可換群であれば、左剰余類と右剰余類は同じ。
補足

左剰余類の意味の考察

左剰余類は aa を定数として群 GG の部分群 HH の元を左から掛けたもの。

C(a)={x∈G∣a∼x}={x∈G∣a−1x∈H}={ah∣h∈H}=aH\begin{aligned} C(a)&=\{x\in G\mid a\sim x\}\\ &=\{x\in G\mid a^{-1}x\in H\}\\ &=\{ah\mid h\in H\}\\ &=aH \end{aligned}

定理

  • ∀a,b∈G,∣aH∣=∣bH∣\forall a,b\in G,|aH|=|bH|

正規部分群

定義

HH を GG の部分群とする。 すべての a∈Ga\in G に対し、aH=HaaH=Ha となるとき、HH を GG の正規部分群といい、H⊴GH\trianglelefteq G と表す。

補足
可換群 GG の部分群はすべて正規部分群。
補足

正規部分群の意味の考察

aH⋅bH=abH  (a,b∈G,H≤G)aH\cdot bH=abH\;(a,b\in G,H\le G)

を満たす群 HH を考える。

この演算がwell-definedであるためには

aH=a′H,bH=b′H  ⟹  abH=a′b′HaH=a'H,bH=b'H\implies abH=a'b'H

を満たさなければならない。

ここで a′=ah1,b′=bh2;(h1,h2∈H)a'=ah_1,b'=bh_2\\;(h_1,h_2\in H) とおくと

a′b′H=ah1bh2Ha'b'H=ah_1bh_2H

もし HH が正規部分群であれば

a′b′=abh1′h2  (h1′∈H)=abH∴a′b′H=abH\begin{aligned} a'b'&=abh_1'h_2\;(h_1'\in H)\\ &=abH\\ \therefore a'b'H&=abH \end{aligned}

となり成立する。

正規部分群の剰余類

NN を GG の正規部分群とする。 剰余類 aNaN と bNbN の積を aN⋅bN=abNaN\cdot bN=abN と定義すると、 G/NG/N はこの演算によって群となり、この群を GG の正規部分群 NN に関する剰余類という。

準同型写像

定義

G,G′G,G' が群であり、かつ写像 f:G→G′f:G\to G' が

∀x,y∈G,f(xy)=f(x)f(y)\forall{x,y\in G},f(xy)=f(x)f(y)

を満たすとき ff を準同型写像という。

定理

  • f(e)=e′f(e)=e' (e′e' は G′G' の単位元)

  • f(x−1)=f(x)−1f(x^{-1})=f(x)^{-1}

核と像

群の準同型写像 ff に対して

ker⁡f={x∈G∣f(x)=e′}imf={f(x)∈G′∣x∈G}\begin{aligned} \ker{f}&=\{x\in G\mid f(x)=e'\}\\ \text{im}f&=\{f(x)\in G'\mid x\in G\} \end{aligned}

核と像の定理

  • ker⁡f⊴G\ker{f}\trianglelefteq G

  • imf≤G\text{im}f\le G

準同型定理

f:G→G′f:G\to G' を準同型写像とする。このとき

φ:G/ker⁡f→imfxker⁡f↦f(x)\begin{aligned} \varphi:&G/\ker{f}&\to\text{im}f\\ &x\ker{f}&\mapsto f(x) \end{aligned}

は同型写像である。すなわち

G/ker⁡f≃imfG/\ker{f}\simeq\text{im}f

特に ff が全射であるとき

G/ker⁡f≃G′G/\ker{f}\simeq{G'}

が成り立つ。

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