解析学

前提知識

• 微分
• 積分
• 複素数

テイラー展開

テイラー展開 (Taylor expansion) は、関数のある一点での導関数たちの値から計算される項の無限和として関数を表したものである。

$$\begin{aligned} f(x)&=f(a)+f{'}(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f{''}(x)(x-a)^2+\frac{1}{3!}f{'''}(a)(x-a)^3+\dots\\ &=\sum_{n=0}^\infty{\frac1{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n} \end{aligned}$$

特に $a=0$ のときのテイラー展開をマクローリン展開 (Maclaurin expansion) という。

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty{\frac1{n!}f^{(n)}(0)x^n}$$

オイラーの公式

以下の関係式をオイラーの公式 (Euler's formula) という。

$$e^{iy}=\cos{y}+i\sin{y}$$

特に $\theta=\pi$ のとき

$$e^{i\pi}+1=0$$

が導かれ、この関係式をオイラーの等式 (Euler's identity) という。

証明 (注: 厳密でない)

$\cos\theta,\sin\theta$ をそれぞれマクローリン展開すると

$$\begin{aligned} \cos\theta&=1-\dfrac1{2!}\theta^2+\dfrac1{4!}\theta^4-\dfrac1{6!}\theta^6+\cdots\\ \sin\theta&=\theta-\dfrac1{3!}\theta^3+\dfrac1{5!}\theta^5-\dfrac1{7!}\theta^7+\cdots\tag{1} \end{aligned}$$

$e^x$ をマクローリン展開すると

$$e^x=1+x+\dfrac1{2!}x^2+\dfrac1{3!}x^3+\dfrac1{4!}x^4+\dfrac1{5!}x^5+\dfrac1{6!}x^6+\dfrac1{7!}x^7+\cdots\tag{2}$$

(2) に $x=i\theta$ を形式的に代入すると

$$\begin{aligned} e^{i\theta}&=1+i\theta-\dfrac1{2!}\theta^2-\dfrac1{3!}i\theta^3+\dfrac1{4!}\theta^4+\dfrac1{5!}i\theta^5-\dfrac1{6!}\theta^6-\dfrac1{7!}i\theta^7+\cdots\\ &=\left(1-\dfrac1{2!}\theta^2+\dfrac1{4!}\theta^4-\dfrac1{6!}\theta^6+\cdots\right)+i\left(\theta-\dfrac1{3!}i\theta^3+\dfrac1{5!}i\theta^5-\dfrac1{7!}i\theta^7+\cdots\right)\\ &=\cos\theta+i\sin\theta \end{aligned}$$

ε-δ論法

定義

関数 $f(x)$ は $x=a$ で連続であるとは

$$\lim_{x\to a}f(x)=b$$

が成り立つことである。

これをε-δ論法で定義すると

$$^\forall\varepsilon>0,^\exists\delta>0~\mathrm{s.t.}~^\forall x\in \R,|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon$$

となり、これは

任意の正の数 $\varepsilon$ に対し、ある適当な正の数 $\delta$ が存在して、$\delta<|x-a|$ を満たす全ての実数 $x$ に対し、$|f(x)-b|<\varepsilon$ が成り立つという意味の条件である。

ガウス積分

定義

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$$

証明

$I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$ とおく

$$\begin{aligned} I^2&=\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\right)\\ &=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy \end{aligned}$$

$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ とおく

$$\begin{aligned} I^2&=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}\{\pi(r+dr)^2\times\frac{d\theta}{2\pi}-\pi r^2\times\frac{d\theta}{2\pi}\}\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}(rdrd\theta+\frac12(dr)^2d\theta)\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}rdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\infty re^{-r^2}dr\\ &=2\pi\left[-\frac12e^{-r^2}\right]_0^\infty\\ &=\pi \end{aligned}$$

$I>0$ なので

$$I=\sqrt\pi$$

双曲線関数

定義

$$\begin{aligned} \sinh(x)&=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ \cosh(x)&=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ \tanh(x)&=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \end{aligned}$$

性質

双曲線関数は三角関数に似た性質をもっている。

$$\begin{aligned} \cosh^2{x}+\sinh^2{x}&=1\\ \tanh{x}&=\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}\\ 1-\tanh^2{x}&=\frac{1}{\cosh^2{x}}\\ (\sinh{x})'&=\cosh{x}\\ (\cosh{x})'&=\sinh{x}\\ (\tanh{x})'&=\frac1{\cosh^2{x}}\\ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx&=\sqrt\pi \end{aligned}$$

なぜ三角関数に性質が似るのか

オイラーの公式 $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$ を用いて、三角関数 $\cos{\theta},\sin{\theta}$ を表すと

$$\begin{aligned} \cos{\theta}&=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\ \sin{\theta}&=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \end{aligned}$$

となり、双曲線関数と式の形が似ているため。

ロピタルの定理

定義

$\lim_{x\rightarrow a}$ が $\dfrac00$ か $\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ の不定形であり、次の条件をすべて満たすとき

1. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ が $0$ または $\pm\infty$
2. $a$ を含むある開区間から $a$ を除くすべての点で $g'(x)\ne0$
3. 極限 $\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ が存在する

このとき、極限 $\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ も存在し

$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

が成り立つ。

例題

1. $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{x+\sin{x}}x$
2. $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{e^x}$
3. $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin2x}{x+\sin{x}}$
4. $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{x-\sin{x}}{x^3}$

フーリエ解析

フーリエ級数展開

ある関数 $f(x)$ の性質が知りたい場合、より基本的な関数系 $\{\varphi_0(x),\varphi_1(x),\varphi_2(x),\dots\}$ で級数展開する。

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty{c_n\varphi_n(x)}$$

1. $f(x)$ が無限回微分可能な場合 → $\{1,x,x^2,x^3,\dots\}$ で級数展開 (マクローリン展開)

   $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

2. $f(x)$ が周期関数である場合 → $\{1,\cos{x},\sin{x},\cos{2x},\sin{2x},\dots\}$ (三角関数系) で級数展開 (フーリエ級数展開)

   $$f(x)=a+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})$$

級数展開に三角関数を使う利点は、直交性 (自身以外との内積が 0) であること。

関数の内積

$f(x),g(x)$ を周期 $2\pi$ の周期関数とすると、その内積は

$$\int_{-\pi}^\pi{f(x)g(x)dx}$$

で定義される。

三角関数系が直交性をもつことの証明

$$\begin{aligned} &\int_{-\pi}^\pi{\sin{mx}\cdot\sin{nx}}\\ =&\int_{-\pi}^\pi\frac{\cos(m-n)x-\cos(m+n)x}2dx\\ =&\begin{cases} 0&(m\ne n)\\ \pi&(m=n) \end{cases}\\ \end{aligned}$$

同様に

$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi{\cos{mx}\cdot\cos{nx}}&=\begin{cases} 0\,(m\ne n)\\ \pi\,(m=n) \end{cases}\\ \int_{-\pi}^\pi{\cos{mx}\cdot\sin{nx}}&=0 \end{aligned}$$

また、三角関数と $1$ との直交性は自明である。

フーリエ係数

$$\begin{aligned} \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\\ a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\cos{nx}dx}\\ b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\sin{nx}dx} \end{aligned}$$

このような形で表される級数を $f(x)$ のフーリエ級数といい、$a_n,b_n$ をフーリエ係数という。

フーリエ係数の導出

$$f(x)=a+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\tag1$$

(1) の両辺に $\cos{mx}$ をかけて、$[-\pi,\pi]$ で積分する。

$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi{f(x)\cos{mx}dx}&=\int_{-\pi}^\pi{a\cos{mx}d x}+\sum_{n=1}^\infty\int_{-\pi}^\pi{(a_n\cos{nx}\cos{mx}+b_n\sin{nx}\cos{mx})dx}\\ &=\pi a_m\\ a_m&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\cos{mx}dx} \end{aligned}$$

同様に、(1) の両辺に $\sin{mx}$ をかけて、$[-\pi,\pi]$ で積分する。

$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi{f(x)\sin{mx}dx}&=\int_{-\pi}^\pi{a\sin{mx}d x}+\sum_{n=1}^\infty\int_{-\pi}^\pi{(a_n\cos{nx}\sin{mx}+b_n\sin{nx}\sin{mx})dx}\\ &=\pi b_m\\ b_m&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\sin{mx}dx} \end{aligned}$$

同様に、(1) の両辺を積分すると

$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi{f(x)dx}&=\int_{-\pi}^\pi{ad x}+\sum_{n=1}^\infty\int_{-\pi}^\pi{(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})dx}\\ &=2\pi a\\ a&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x)dx} \end{aligned}$$

よって

$$\begin{aligned} a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\cos{nx}dx}\\ b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi{f(x)\sin{nx}dx}\\ a&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x)dx}=\frac{a_0}2 \end{aligned}$$

複素フーリエ級数

$$\sum_{n=-\infty}^\infty{c_ne^{inx}}\\ c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x)e^{-inx}dx}$$

複素フーリエ級数の導出

$$\begin{aligned} \begin{cases} e^{inx}&=\cos{nx}+i\sin{nx}\\ e^{-inx}&=\cos{nx}-i\sin{nx} \end{cases} \end{aligned}$$

より

$$\begin{aligned} \cos{nx}&=\frac{e^{inx}+e^{-inx}}2\\ \sin{nx}&=\frac{e^{inx}+-^{-inx}}{2i} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} &\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\\ =&\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n-ib_n}2e^{inx}+\frac{a_n+ib_n}2e^{-inx})\\ =&\sum_{n=-\infty}^\infty{c_ne^{inx}} \end{aligned}$$

ライプニッツの法則

ライプニッツの法則は、$f,g$ を $n$ 回微分可能な関数としたときの、それらの積 $f\cdot g$ の $n$ 階微分の一般化である。

定義

$$(f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n{_nC_kf^{(n-k)}g^{(k)}}$$

sup, inf

定義

$A$ を空でない実数 $R$ の集合とする。

max

$$\max{A}=\alpha\Rightarrow A~\text{の最大値は}~\alpha$$

1. 任意の $x\in A$ に対して $x\le\alpha$ ($\alpha$ は $A$ の上界)
2. $\alpha\in A$ → $\alpha$ も $A$ に入っていけなければならない

sup

$$\sup{A}=\alpha\Rightarrow A~\text{の上限は}~\alpha$$

1. 任意の $x\in A$ に対して $x \le\alpha$ ($\alpha$ は $A$ の上界)
2. $\alpha$ より小さい任意の実数 $\beta$ に対し $\beta\lt x$ なる $x\in A$ が存在 → $\alpha$ 自体は $A$ に入ってなくてもよい

---

同様に

$$\begin{aligned} \min{A}=\alpha &\Rightarrow A~\text{の最小値は}~\alpha \\ \inf{A}=\alpha &\Rightarrow A~\text{の下限は}~\alpha \end{aligned}$$

性質

1. $\sup{A}\in A\Rightarrow\sup{A}=\max{A}$
2. $A\text{ が上に有界} \Rightarrow \sup{A}\text{ が存在}$
3. $\inf{A}\in A\Rightarrow\inf{A}=min{A}$
4. $A\text{ が下に有界 }\Rightarrow\inf{A}\text{ が存在}$

ガンマ関数

定義

$$\Gamma(s)=\int_0^\infty{x^{s-1}\exp{(-x)}dx}\,(s>0)$$

性質

1. $s>1$ のとき

   $$\Gamma(s)=(s-1)\Gamma(s-1)$$
   証明

   $$\begin{aligned} \Gamma(s)&=\int_0^\infty{x^{s-1}e^{-x}dx}\\ &=\left[x^{s-1}(-e^{-x})\right]_0^\infty+\int_0^\infty{(s-1)x^{s-2}e^{-x}dx}\\ &=(s-1)\Gamma(s-1) \end{aligned}$$

2. $s$ が正の整数のとき

   $$\Gamma(s)=(s-1)!$$
   s が正の整数のとき Γ(s)=(s-1)! となる証明

   $$\begin{aligned} \Gamma(s)&=(s-1)\Gamma(s-1)\\ &=(s-1)(s-2)\Gamma(s-2)\\ &=(s-1)(s-2)(s-3)\cdots1\cdot\Gamma(1)\\ \Gamma(1)&=\int_0^\infty{e^{-x}dx}\\ &=\left[-e^{-x}\right]_0^\infty\\ &=1\\ \therefore \Gamma(s)&=(s-1)! \end{aligned}$$
3. $$\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$$
   Γ(1/2)=√π となる証明

   $$\Gamma(\frac12)=\int_0^\infty{x^{-\frac12}e^{-x}dx}$$

   ここで $x=t^2$ とおくと

   $$dx=2tdt\\ \begin{array}{c|c} x&0\to\infty\\ \hline t&0\to\infty \end{array}$$

   より

   $$\begin{aligned} \Gamma(\frac12)&=\int_0^\infty{t^{-1}e^{-t^2}\cdot2tdt}\\ &=2\int_0^\infty{e^{-t^2}dt}\\ &=\int_{-\infty}^\infty{e^{-t^2}dt} \end{aligned}$$

   となり、ガウス積分より

   $$\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$$

ラグランジュの未定乗数法

条件 $g(x,y)=0$ 下での $f(x,y)$ の極値を考える。

$f(x,y),g(x,y)$ が $C^1$ 級であるとき、条件付き極値をとる点の候補は

• $\nabla{g(x,y)}=\bold{0}\land g(x,y)=0$
• $\nabla{f(x,y)}=\lambda g(x,y)\land g(x,y)=0$ (ラグランジュの未定乗数法, method of Lagrange multiplier)

を満たす点である。

参考文献

• 井上 満, 工業数学がわかる, 技術評論社, 2010
• Wikipedia, オイラーの公式
• Wikipedia, イプシロン-デルタ論法
• Wikipedia, ロピタルの定理
• Wikipedia, 一般のライプニッツの法則
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】ガウス積分の証明【解析学】, 2017
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】双曲線関数とは何か【解析学】, 2017
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】テイラー展開の気持ち【解析学】 - YouTube, 2017
• ヨビノリたくみ, ロピタルの定理 ①(定理と使用例), 2020
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】フーリエ解析入門 ①(フーリエ級数展開 I)/全 5 講【解析学】, 2017
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】フーリエ解析入門 ②(フーリエ級数展開 II)/全 5 講【解析学】, 2017
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】フーリエ解析入門 ③(フーリエ級数展開 III)/全 5 講【解析学】, 2020
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】フーリエ解析入門 ④(フーリエ級数展開 IV)/全 5 講【解析学】, 2020
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】sup と inf(上限と下限)【解析学】, 2018
• ヨビノリたくみ, 【大学数学】ガンマ関数 ①(定義と性質)【解析学】, 2019
• ヨビノリたくみ, ラグランジュの未定乗数法の気持ち【条件付き極値問題】, 2021