確率微分方程式

前提知識

• 確率統計

ランダムウォーク

点 $P$ は時刻 $t=0$ で原点にあり、1秒ごとに等しい確率で $+\sigma$ または $-\sigma$ だけ移動するものとする。 $t$ 秒後の点 $P$ の位置を $R(t)$ とすると、$R(t)$ を ランダムウォーク (random walk) という。

$R(t)$ は次のような確率変数となる。

$$\begin{aligned} E[R(t)] &= 0 \\ V[R(t)] &= \sigma^2 t \end{aligned}$$

ウィーナー過程

点 $P$ は時刻 $t=0$ で原点にあり、$\Delta t = \frac{1}{n}$ ごとに等しい確率で $+\Delta W$ または $-\Delta W$ だけ移動するものとする。 このとき $t$ 秒後の点 $P$ の位置を $W(t)$ とする。

移動を $k$ 回行った後の点 $P$ の位置 $W(\frac{k}{n})$ は次のような確率変数となる。

$$\begin{aligned} E[W(\frac{k}{n})] &= 0 \\ V[W(\frac{k}{n})] &= \Delta W^2 k \end{aligned}$$

$\Delta W = \pm \sigma \sqrt{\frac{1}{n}} = \pm \sigma \sqrt{\Delta t}$ としたときの $\lim_{n \to \infty} W(t)$ を ウィーナー過程 (Wiener process) という。

確率微分方程式

$X(t)$ が次の確率微分方程式を満たすとき、$X(t)$ を 確率微分方程式 (stochastic differential equation) という。

$$dX(t) = \mu(X(t), t) dt + \sigma(X(t), t) dW(t)$$

この解は (存在すれば) 次のように表される。

$$X(t) = X(0) + \int_{0}^{t} \mu(X(s), s) ds + \int_{0}^{t} \sigma(X(s), s) dW(s)$$

伊藤積分

確率微分方程式 $dX(t) = \mu(X(t), t) dt + \sigma(X(t), t) dW(t)$ の解において、右辺の第2項の積分 $\int_{0}^{t} \sigma(X(s), s) dW(s)$ は普通の積分とは異なる。 この積分を次のように定義したものを 伊藤積分 (Itô integral) という。

$$\int_{0}^{t} \sigma(X(s), s) dW(s) = \sum_{k=1}^{n} \sigma(X(t_{k-1}), t_{k-1}) [W(t_k) - W(t_{k-1})]$$

伊藤の公式

$X(t)$ が $dX(t) = f(t, X(t)) dt + g(t, X(t)) dW(t)$ を満たす確率微分方程式の解であるとき、$H(t, X(t))$ の微分 $dH(t, X(t))$ は次のように表される。

$$dH = \left( \dfrac{\partial H}{\partial t} + \dfrac{\partial H}{\partial X} f + \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 H}{\partial X^2} g^2 \sigma^2 \right) dt + \dfrac{\partial H}{\partial X} g dW$$