複素関数論

ド・モアブルの定理

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ のとき

$$z^n=r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta})$$

ただし、$n$ は任意の整数

証明

オイラーの公式より

$$\begin{aligned} z&=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\ &=re^{i\theta} \end{aligned}$$

両辺を $n$ 乗して

$$\begin{aligned} z^n&=r^ne^{in\theta}\\ &=r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}) \end{aligned}$$

コーシー・リーマンの関係式

複素関数 $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ において、以下の関係をコーシー・リーマンの関係式 (以下、CRの関係式) という。

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)&=\dfrac{\partial v}{\partial y}(x,y)\\ \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,y)&=-\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,y) \end{aligned}$$

$f(z)$ が $z$ で微分可能であることは、$u(x,y),v(x,y)$ が全微分可能かつCRの関係式が成り立つことに等しい。

CRの関係式の導出

$f(z)$ において $z$ が $\Delta z$ だけ増加したときの変化の割合を求めると

$$\begin{aligned} &=\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\\ &=\dfrac{\{u(x+\Delta x,y+\Delta y)+iv(x+\Delta x,y+\Delta y)\}-\{u(x,y)+iv(x,y)\}}{\Delta x+i\Delta y}\\ &=\dfrac{\{u(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x,y)\}+i\{v(x+\Delta x,y+\Delta y)-v(x,y)\}}{\Delta x+i\Delta y} \end{aligned}$$

$\lim\Delta y\rightarrow0$ の場合 (実軸と平行に近づけて微分した場合)

$$\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{\{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)\}+i\{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)\}}{\Delta x}\\ &=\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)+i\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,y)=f'(z) \end{aligned}$$

$\lim\Delta x\rightarrow0$ の場合 (虚軸と平行に近づけて微分した場合)

$$\begin{aligned} &=\lim_{\Delta y\rightarrow0}\dfrac{\{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)\}+i\{v(x,y+\Delta y)-v(x,y)\}}{i\Delta y}\\ &=-i\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,y)+\dfrac{\partial v}{\partial y}(x,y)=f'(z) \end{aligned}$$

これらの式の実部と虚部を比較すると

$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)&=\dfrac{\partial v}{\partial y}(x,y)\\ \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,y)&=-\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,y) \end{cases}$$

が導ける。

複素関数の積分

区分的に滑らかな積分路 $C$ における複素関数 $f(z)$ の積分は、$z(t)=x(t)+y(t)\;(a\le t\le b)$ とおくと

$$\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t)) \dfrac{dz(t)}{dt}dt$$

と表せる。

性質

1. $\int_C\{f(z)+g(z)\}dz=\int_Cf(z)dz+\int_Cg(z)dz$
2. $\int kf(z)dz=k\int f(z)dz$
3. $\int_{-C}f(z)dz=-\int_Cf(z)dz$
4. $\int_Cf(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz$

コーシーの積分定理

$f(z)=u+iv$ は $D$ で正則であり、かつ $u,v$ は $C^1$ 級であるとする。 単純閉曲線 $C$ で囲まれた領域を $\Omega$ として、$\bar\Omega$ が $D$ に含まれるならば、次が成り立つ。

$$\oint_{C}f(z)dz=0$$

証明

$$\begin{aligned} \oint_Cf(z)dz&=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt\\ &=\int_a^b\{u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))\}\{x'(t)+iy'(t)\}dt\\ &=\int_a^b\{u(x(t),y(t))x'(t)-v(x(t),y(t))y'(t)\}dt+i\int_a^b\{u(x(t),y(t))y'(t)+v(x(t),y(t))x'(t)\}dt\\ &=\oint_C\{u(x,y)dx-v(x,y)dy\}+i\oint_C\{u(x,y)dy+v(x,y)dx\} \end{aligned}$$

グリーンの定理 (後述) より

$$\oint_Cf(z)dz=\iint_\Omega\left(-\dfrac{\delta u}{\delta y}-\dfrac{\delta v}{\delta x}\right)dxdy+\iint_\Omega\left(\dfrac{\delta u}{\delta x}-\dfrac{\delta v}{\delta y}\right)dxdy$$

コーシー・リーマンの方程式より

$$\begin{cases} -\dfrac{\delta u}{\delta y}-\dfrac{\delta v}{\delta x}&=0\\ \dfrac{\delta u}{\delta x}-\dfrac{\delta v}{\delta y}&=0 \end{cases}$$

代入して

$$\oint_Cf(z)dz=0$$

積分路の変形I

$f(z)$ が単連結領域 $D$ で正則とする。2つの曲線 $C_1,C_2\in D$ が共通の始点と終点をもつとき

$$\int_{C_1}f(z)dz=\int_{C_2}f(z)dz$$

証明

$C_1,C_2$ が端点以外で交差していない場合を考える。

コーシーの積分定理より

$$\begin{aligned} \oint_{C_1-C_2}f(z)dz&=\oint_{C_1}f(z)dz-\oint_{C_2}f(z)dz=0\\ \therefore\oint_{C_1}f(z)dz&=\oint_{C_2}f(z)dz \end{aligned}$$

また、$C_1,C_2$ が交差する場合でも、交差する点で積分路を分割すると自明に成り立つ。

積分路の変形II

単純閉曲線 $C_1,C_2$ で囲まれた環状領域を $D$ とし、$\bar D$ で正則な $f(z)$ に対して、次が成り立つ。

$$\oint_{C_1}f(z)dz=\oint_{C_2}f(z)dz$$

コーシーの積分公式

単純閉曲線 $C$ で囲まれる領域を $D$ とし、$f(z)$ は $\bar{D}$ で正則であるとする。 このとき、任意の $z\in D$ に対し、次が成り立つ。

$$f(z)=\dfrac1{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$$

グルサの公式

単純閉曲線 $C$ で囲まれる領域を $D$ とし、$f(z)$ は $\bar{D}$ で正則であるとする。 このとき、$f(z)$ は $D$ 内の点 $z$ で何回でも微分可能となる。

また、任意の自然数 $n$ に対して $f^{(n)}(z)$ は $D$ 上で正則となり次が成り立つ。

$$f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta$$

証明 (注: 厳密でない)

$$f'(z)=\lim_{\Delta z\to0}\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$$

コーシーの積分公式より

$$\begin{aligned} f'(z)&=\lim_{\Delta z\to0}\dfrac1{(\Delta z)2\pi i}\oint_C\left\{\dfrac1{\zeta-(z+\Delta z)}-\dfrac1{\zeta-z}\right\}f(\zeta)d\zeta\\ &=\lim_{\Delta z\to0}\dfrac1{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\zeta)}{\{\zeta-(z+\Delta z)\}(\zeta-z)}d\zeta \end{aligned}$$

$\Delta z\rightarrow0$ に近づけると

$$f'(z)=\dfrac1{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta$$

この操作を繰り返すと、一般に次の式が得られる。

$$f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta$$

複素関数のテイラー展開

複素関数 $f(z)$ は閉円板 $\bar{D}(\alpha,R)$ で正則であるとする。このとき、任意の $z\in D(\alpha,R)$ に対し、次の等式が成り立つ。

$$\begin{aligned} f(z)&=f(\alpha)+f'(\alpha)(z-\alpha)+\dfrac1{2!}f''(\alpha)(z-\alpha)^2+\cdots\\ &=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}(z-\alpha)^n \end{aligned}$$

証明 (注: 厳密でない)

コーシーの積分公式より

$$\begin{aligned} f(z)&=\dfrac1{2\pi i}\int_C\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\\ &=\dfrac1{2\pi i}\int_C\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-\alpha}\dfrac1{1-\frac{z-\alpha}{\zeta-\alpha}}d\zeta \end{aligned}$$

$\left|\dfrac{z-a}{\zeta-a}\right|<1$ であることから、等比級数の公式より

$$\begin{aligned} f(z)&=\dfrac1{2\pi i}\int_C\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-\alpha}\sum_{n=0}^\infty(\dfrac{z-\alpha}{\zeta-\alpha})^nd\zeta\\ &=\sum_{n=0}^\infty\dfrac1{n!}\dfrac{n!}{2\pi i}\int_C\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-\alpha)^{n+1}}d\zeta(z-\alpha)^n \end{aligned}$$

グルサの公式より

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac1{n!}f^{(n)}(\alpha)(z-\alpha)^n$$

ローラン展開

$D=\{z\in\Bbb{C}\mid R_1<|z-\alpha|<R_2\}\;(0\le R_1<R_2\le\infty)$ とする。 $f(z)$ が $\bar{D}$ で正則な関数であるとき、任意の $z\in D$ に対し、次の等式が成り立つ。

$$\begin{aligned} c_n&=\dfrac1{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-\alpha)^{n+1}}d\zeta\;(n=0,\pm1,\pm2,\dots)\\ f(z)&=\cdots+\dfrac{c_{-2}}{(z-\alpha)^2} +\dfrac{c_{-1}}{(z-\alpha)}+c_0+c_1(z-\alpha)+c_2(z-\alpha)^2+\cdots\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-\alpha)^n \end{aligned}$$

ただし $C$ は $D$ 内の $\alpha$ を内部に含む任意の円。

テイラー展開にはない $z-\alpha$ の負のべき乗を含む項の系列を主要部という。

孤立特異点

$f(z)$ が $D=\{z\in \Bbb{C}\mid0<|z-\alpha|<R\}\enspace(R\le\infty)$ で正則であり、$z=\alpha$ で正則でないとき、点 $\alpha$ を孤立特異点 (isolated singularity) という。

特に、$f(z)$ のローラン級数の主要部が

1. 存在しない場合は可除特異点 (removable singularity) という
2. $k$ 個存在 (有限かつ $k\ne0$) する場合は $k$ 位の極 (k-th pole) という
3. $\text{主要部が特異点}$ である場合は真性特異点 (essential singularity) という

留数定理

$\alpha$ を中心とするローラン展開における $c_{-1}$ を $f(z)$ の $z=\alpha$ における留数 (residue) といい、$\text{Res}(f(z),\alpha)$ で表す。

$f(z)$ が単純閉曲線 $C$ とその内部で $C$ 内の孤立特異点 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ を除いて正則であるとき次の等式が成り立つ。

$$\oint_Cf(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\text{Res}(f(z),\alpha_k)$$

証明

$$C_n=\dfrac1{2\pi i}\oint\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-\alpha)^{n+1}}d\zeta$$

ここで、両辺に $n=-1$ を代入すると

$$\begin{aligned} C_{-1}=\text{Res}(f(z),\alpha_k)&=\dfrac1{2\pi i}\oint{f(\zeta)}d\zeta\\ 2\pi i\cdot\text{Res}(f(z),\alpha_k)&=\oint_C{f(\zeta)d\zeta} \end{aligned}$$