確率微分方程式

前提知識

• 確率統計

ランダムウォーク

点 $P$ は時刻 $t=0$ で原点にあり、1秒ごとに等しい確率で $+\sigma$ または $-\sigma$ だけ移動するものとする。 $t$ 秒後の点 $P$ の位置を $R(t)$ とすると、$R(t)$ を ランダムウォーク (random walk) という。

$R(t)$ は次のような確率変数となる。

$$\begin{aligned} E[R(t)] &= 0 \\ V[R(t)] &= \sigma^2 t \end{aligned}$$

E[R(t)], V[R(t)] の導出

$$\Delta R(t) = R(t + \Delta t) - R(t)$$

とおくと、$\Delta R(t)$ は次のような確率変数となる。

$$\begin{aligned} E[\Delta R(t)] &= 0 \\ V[\Delta R(t)] &= \sigma^2 \end{aligned}$$

よって

$$\begin{aligned} E[R(t)] &= E[\Delta R(0) + \Delta R(1) + \cdots + \Delta R(t)] \\ &= E[\Delta R(0)] + E[\Delta R(1)] + \cdots + E[\Delta R(t)] \\ &= 0 \\ V[R(t)] &= V[\Delta R(0) + \Delta R(1) + \cdots + \Delta R(t)] \\ &= V[\Delta R(0)] + V[\Delta R(1)] + \cdots + V[\Delta R(t)] \\ &= \sigma^2 + \sigma^2 + \cdots + \sigma^2 \\ &= \sigma^2 t \end{aligned}$$

ウィーナー過程

点 $P$ は時刻 $t=0$ で原点にあり、$\Delta t = \frac{1}{n}$ ごとに等しい確率で $+\Delta W$ または $-\Delta W$ だけ移動するものとする。 このとき $t$ 秒後の点 $P$ の位置を $W(t)$ とする。

移動を $k$ 回行った後の点 $P$ の位置 $W(\frac{k}{n})$ は次のような確率変数となる。

$$\begin{aligned} E[W(\frac{k}{n})] &= 0 \\ V[W(\frac{k}{n})] &= \Delta W^2 k \end{aligned}$$

$\Delta W = \pm \sigma \sqrt{\frac{1}{n}} = \pm \sigma \sqrt{\Delta t}$ としたときの $\lim_{n \to \infty} W(t)$ を ウィーナー過程 (Wiener process) という。

確率微分方程式

$X(t)$ が次の確率微分方程式を満たすとき、$X(t)$ を 確率微分方程式 (stochastic differential equation) という。

$$dX(t) = \mu(X(t), t) dt + \sigma(X(t), t) dW(t)$$

この解は (存在すれば) 次のように表される。

$$X(t) = X(0) + \int_{0}^{t} \mu(X(s), s) ds + \int_{0}^{t} \sigma(X(s), s) dW(s)$$

伊藤積分

確率微分方程式 $dX(t) = \mu(X(t), t) dt + \sigma(X(t), t) dW(t)$ の解において、右辺の第2項の積分 $\int_{0}^{t} \sigma(X(s), s) dW(s)$ は普通の積分とは異なる。 この積分を次のように定義したものを 伊藤積分 (Itô integral) という。

$$\int_{0}^{t} \sigma(X(s), s) dW(s) = \sum_{k=1}^{n} \sigma(X(t_{k-1}), t_{k-1}) [W(t_k) - W(t_{k-1})]$$

伊藤積分を定義する理由

確率微分方程式 $dX = bW(t) dW$ の解を考える。

普通に両辺を積分すると

$$\begin{aligned} X(t) &= X(0) + \int_{0}^{t} b W(s) dW \\ &= X(0) + \dfrac{b}{2} W^2(t) \end{aligned}$$

となりそうだが、$b = 1, X(0) = 0, X(5) = 10, W(5) = 10$ とすると

$$\begin{aligned} \Delta X(5) &= X(6) - X(5) \\ &\approx b W(5) [W(6) - W(5)] \\ &= 10 [W(6) - W(5)] \end{aligned}$$

ここで $W(6) - W(5) = \Delta W(5) \sim N(0, 1)$ なので、$0.17$ 程度の確率で $\Delta W(5) < -1, \Delta X(5) < -10$ となり、$X(6) < 0$ となる。 しかし、普通の積分の解は $X(6) = \frac{1}{2} W^2(6) > 0$ となるため、矛盾する。

伊藤積分の定義で $bW(t) dW$ を積分すると

$$\begin{aligned} X(t) &= X(0) + \sum_{k=1}^{n} b W(t_{k-1}) [W(t_k) - W(t_{k-1})] \\ &= X(0) + \sum_{k=1}^{n} b \left\{ \dfrac{1}{2} [W(t_k) + W(t_{k-1})] - \dfrac{1}{2} [W(t_k) - W(t_{k-1})] \right\} [W(t_k) - W(t_{k-1})] \\ &= X(0) + \dfrac{b}{2} \sum_{k=1}^{n} [W^2(t_k) - W^2(t_{k-1})] - \dfrac{b}{2} \sum_{k=1}^{n} [W(t_k) - W(t_{k-1})]^2 \end{aligned}$$

ここで

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} [W^2(t_k) - W^2(t_{k-1})] &= W^2(t_n) - W^2(t_0) \\ &= W^2(t) - W^2(0) \\ &= W^2(t) \\ \sum_{k=1}^{n} [W(t_k) - W(t_{k-1})]^2 &= \sum_{k=1}^{n} \Delta W^2(t_{k-1}) \\ &= \sum_{k=1}^{n} \sigma^2 (t_k - t_{k-1}) \\ &= \sigma^2 t \end{aligned}$$

これを代入すると

$$X(t) = X(0) + \dfrac{b}{2} W^2(t) - \dfrac{b}{2} \sigma^2 t$$

となるため、矛盾が生じない。

伊藤の公式

$X(t)$ が $dX(t) = f(t, X(t)) dt + g(t, X(t)) dW(t)$ を満たす確率微分方程式の解であるとき、$H(t, X(t))$ の微分 $dH(t, X(t))$ は次のように表される。

$$dH = \left( \dfrac{\partial H}{\partial t} + \dfrac{\partial H}{\partial X} f + \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 H}{\partial X^2} g^2 \sigma^2 \right) dt + \dfrac{\partial H}{\partial X} g dW$$

導出

$dH$ をテイラー展開すると

$$\begin{aligned} dH &= \dfrac{\partial H}{\partial t} dt + \dfrac{\partial H}{\partial X} dX \\ &+ \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 H}{\partial t^2} {dt}^2 + \dfrac{\partial^2 H}{\partial t \partial X} dt dX + \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 H}{\partial X^2} {dX}^2 \\ &+ \cdots \\ &= \dfrac{\partial H}{\partial t} dt + \dfrac{\partial H}{\partial X} ( f dt + g dW ) \\ &+ \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 H}{\partial t^2} {dt}^2 + \dfrac{\partial^2 H}{\partial t \partial X} dt ( f dt + g dW ) + \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 H}{\partial X^2} ( f dt + g dW )^2 \\ &+ \cdots \\ \end{aligned}$$

ここで

$$\begin{aligned} dt^2 &= 0 \\ dt dW &= \pm \sigma dt \sqrt{dt} = \pm \sigma {dt}^{3/2} = 0 \\ dW^2 &= \pm \sigma^2 dt \\ \end{aligned}$$

を用いると

$$\begin{aligned} dH &= \dfrac{\partial H}{\partial t} dt + \dfrac{\partial H}{\partial X} ( f dt + g dW ) + \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 H}{\partial X^2} g^2 \sigma^2 dt \\ &= \left( \dfrac{\partial H}{\partial t} + \dfrac{\partial H}{\partial X} f + \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 H}{\partial X^2} g^2 \sigma^2 \right) dt + \dfrac{\partial H}{\partial X} g dW \\ \end{aligned}$$

伊藤の公式を使って再び ∫WdW を考える

$X(t) = W(t)$ のとき、$H(t, X(t)) = X^2(t)$ とすると、伊藤の公式より

$$\begin{aligned} dH &= \left( \dfrac{\partial H}{\partial t} + \dfrac{\partial H}{\partial X} f + \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 H}{\partial x^2} g^2 \sigma^2 \right) dt + \dfrac{\partial H}{\partial X} g dW \\ &= \sigma^2 dt + 2 X dW \\ &= \sigma^2 dt + 2 W dW \\ \end{aligned}$$

両辺を積分すると

$$\begin{aligned} \int_{0}^{t} dH &= \int_{0}^{t} \sigma^2 dt + 2 \int_{0}^{t} W dW \\ &= \sigma^2 t + 2 \int_{0}^{t} W^2 dW \end{aligned}$$

また

$$\int_{0}^{t} dH = H(t) - H(0) = W^2(t) - W^2(0) = W^2(t)$$

であることから

$$\begin{aligned} \sigma^2 t + 2 \int_{0}^{t} W^2 dW &= W^2(t) \\ \int_{0}^{t} W^2 dW &= \dfrac{1}{2} \left( W^2(t) - \sigma^2 t \right) \end{aligned}$$

となる。