確率微分方程式

前提知識

• 確率統計

ランダムウォーク

$$\begin{aligned} S_n&=X_1+X_2+\cdots+X_n\\ P[X_i=\sigma]&=P[X_i=-\sigma]=\dfrac12\;(1\le i\le n) \end{aligned}$$

で与えられる確率変数 $S_n$ を (1次元) ランダムウォーク (random walk) という。

$X_i$ の平均 $E[X_i]$ と分散 $V[X_i]$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} E[X_i]&=0\\ V[X_i]&=\sigma^2 \end{aligned}$$

また、$X_1,X_2,\dots,X_n$ は互いに独立であることから

$$\begin{aligned} E[S_n]&=E[X_1+X_2+\cdots+X_n]\\ &=E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n]\\ &=0\\ V[S_n]&=V[X_1+X_2+\cdots+X_n]\\ &=V[X_1]+V[X_2]+\cdots+V[X_n]\\ &=\sigma^2n \end{aligned}$$

が導ける。