ブラック・ショールズ方程式

前提知識

• 確率微分方程式

ヨーロピアン・コール・オプション

とある金融商品を特定の時点で購入する権利を ヨーロピアン・コール・オプション (European call option) という。

一物一価の法則

経済学における概念で「完全競争市場において同一の商品は同じ価格で取引される」という法則を 一物一価の法則 (law of one price) という。

金融においても同様に、「同一のリスク・リターン特性を持つ商品は同じ価格で取引される」という一物一価の法則が成り立つ。

完全競争市場における一物一価の法則の証明 (注: 厳密でない)

商品 $A$ と商品 $B$ は同一の商品であるとする。

$$\begin{aligned} P_A &= \text{商品} \, A \, \text{の価格} \\ P_B &= \text{商品} \, B \, \text{の価格} \\ C &= \text{市場間の取引コスト (輸送費など)} \\ \end{aligned}$$

1. もし $P_A > P_B + C$ とすると、$A$ を売り、$B$ を買うことで $C$ の利益が得られる。(これを 裁定取引 (arbitrage) という) これにより商品 $A$ の価格が下がり、商品 $B$ の価格が上がる。
2. 逆に $P_A < P_B - C$ とすると、$A$ を買い、$B$ を売ることで $C$ の利益が得られる。 これにより商品 $A$ の価格が上がり、商品 $B$ の価格が下がる。
3. 均衡状態では $|P_A - P_B| \leq C$ となる。

以上より $|P_A - P_B| \leq C$ に収束することが分かる。

更に取引コストが無視できるほど小さい場合、つまり $C \approx 0$ のとき、$P_A \approx P_B$ となる。

複製ポートフォリオ

任意のヨーロピアン・コール・オプションは、将来の損得が一致するようなポートフォリオを株式と債券を組み合わせることによって構築できる。 これを 複製ポートフォリオ (replicating portfolio) という。

また、一物一価の法則により、ヨーロピアン・コール・オプションの価格はその複製ポートフォリオの価格と等しくなることから、複製ポートフォリオの価格を計算することでヨーロピアン・コール・オプションの価格を求めることができる。

以下の方法で複製ポートフォリオを構築するものとする。

1. 時刻 $t$ において、株式と債券をそれぞれ $p(t), q(t)$ だけ保有しているとする
2. 時刻が $t + \Delta t$ になり、株式と債券の価格がそれぞれ $S(t + \Delta t), B(t + \Delta t)$ に変化したとする
3. 複製ポートフォリオのリスク・リターン特性がヨーロピアン・コール・オプションと一致するように $p(t + \Delta t), q(t + \Delta t)$ を調整する。 ただし、この調整の前後で、株式と債券の保有額の合計は変化しないものとする。 このような取引の性質を 自己資金充足 (self-financing) という。

ブラック・ショールズ方程式の導出

求めたいヨーロピアン・コール・オプションの時刻 $t$ における価格を $C(t)$ とする。 また、時刻 $t$ における株式と債権の価格をそれぞれ $S(t), b(t)$ とし、次の確率微分方程式に従うとする。

$$\begin{aligned} dS &= a S dt + b S dW \\ db &= r b dt \\ \end{aligned}$$

時刻 $t$ において複製ポートフォリオに含まれる株式と債券の保有量をそれぞれ $p(t), q(t)$ とすると、複製ポートフォリオの価格は

$$C(t) = p(t) S(t) + q(t) b(t)$$

と表せる。

両辺を微分すると

$$dC = dp S + p dS + dq b + q db \tag{1}$$

自己資金充足の性質から、$dp S + dq b = 0$ を代入すると

$$dC = p dS + q db$$

また

$$\begin{aligned} dS &= a S dt + b S dW \\ db &= r b dt \\ \end{aligned}$$

を代入すると

$$\begin{aligned} dC &= p (a S dt + b S dW) + q r b dt \\ &= (a p S + q r b) dt + b p S dW \tag{2} \end{aligned}$$

が導ける。

また、$(1)$ に対して伊藤の公式を適用すると

$$\begin{aligned} dC = \left[ \dfrac{\partial C}{\partial t} + \dfrac{\partial C}{\partial S} a S + \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 C}{\partial S^2} b^2 S^2 \sigma^2 \right] dt + \dfrac{\partial C}{\partial S} b S dW \tag{3} \end{aligned}$$

$(2), (3)$ より $dC$ の $dt, dW$ の係数を比較すると

$$\begin{aligned} a p S + q r b &= \dfrac{\partial C}{\partial t} + \dfrac{\partial C}{\partial S} a S + \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 C}{\partial S^2} b^2 \sigma^2 S^2 \\ b S \dfrac{\partial C}{\partial S} &= b p S \end{aligned}$$

が導ける。

$p = \frac{\partial C}{\partial S}, q b = C - p S = C - S \frac{\partial C}{\partial S}$ を代入すると

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial C}{\partial t} + a S \dfrac{\partial C}{\partial S} + \dfrac{1}{2} b^2 \sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 C}{\partial S^2} &= a S \dfrac{\partial C}{\partial S} + r (C - S \dfrac{\partial C}{\partial S}) \\ \dfrac{\partial C}{\partial t} + r S \dfrac{\partial C}{\partial S} + \dfrac{1}{2} b^2 \sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 C}{\partial S^2} &= r C \end{aligned}$$

となり、ブラック・ショールズ方程式が導かれる。

ブラック・ショールズの公式の導出 (不完全)

$$\dfrac{\partial C}{\partial t} + r S \dfrac{\partial C}{\partial S} + \dfrac{1}{2} b^2 \sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 C}{\partial S^2} = r C$$

ここで $S \frac{\partial}{\partial S}$ に注目すると

$$S \dfrac{\partial}{\partial S} = \dfrac{\partial}{\frac{\partial S}{S}} = \dfrac{\partial}{\partial \log S}$$

となることから $y = \log S$ とおいてみると

$$\begin{aligned} S &= e^y \\ \dfrac{\partial}{\partial S} &= \dfrac{\partial y}{\partial S} \dfrac{\partial}{\partial y} = \dfrac{1}{S} \dfrac{\partial}{\partial y} = e^{-y} \dfrac{\partial}{\partial y} \\ S \dfrac{\partial C}{\partial S} &= e^y e^{-y} \dfrac{\partial C}{\partial y} = \dfrac{\partial C}{\partial y} \\ S^2 \dfrac{\partial^2 C}{\partial S^2} &= e^{2y} \left( e^{-y} \dfrac{\partial}{\partial y} \right)^2 C = e^y \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{-y} \dfrac{\partial C}{\partial y} \right) = e^y \left( -e^{-y} \dfrac{\partial C}{\partial y} + e^{-y} \dfrac{\partial^2 C}{\partial y^2} \right) = \dfrac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \dfrac{\partial C}{\partial y} \end{aligned}$$

より

$$\dfrac{\partial C}{\partial t} + r \dfrac{\partial C}{\partial y} + \dfrac{1}{2} b^2 \sigma^2 \left( \dfrac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \dfrac{\partial C}{\partial y} \right) = r C$$

ここで

$$\begin{aligned} u &= e^{r \tau} C \\ \tau &= T - t \\ x &= \dfrac{y + (r - \frac{1}{2} b^2 \sigma^2) \tau}{b \sigma} \end{aligned}$$

とおくと以下の熱方程式に帰着できる。

$$\frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

この熱方程式の解は

$$u(x, \tau) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2} x^2} \phi(x) dx$$

であることが知られている。

これを逆変換すると

$$\begin{aligned} C(S, t) &= S \mathcal{N}(d_1) - K e^{-r (T - t)} \mathcal{N}(d_2) \\ \text{where} \quad d_1 &= \dfrac{\log \left( \frac{S}{K} \right) + \left( r + \frac{1}{2} b^2 \sigma^2 \right) (T - t)}{b \sigma \sqrt{T - t}} \\ d_2 &= \dfrac{\log \left( \frac{S}{K} \right) + \left( r - \frac{1}{2} b^2 \sigma^2 \right) (T - t)}{b \sigma \sqrt{T - t}} \\ \mathcal{N}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} x^2} dx \end{aligned}$$

となり、ブラック・ショールズの公式が導かれる。